Bài 4. (2,5 điểm) Cho tam giác $K B C$ vuông tại $K$ ($K B < K C$). Tia phân giác của $\widehat{B}$ cắt cạnh $K C$ tại $H$. Qua $C$ vẽ đường thẳng vuông góc với tia $BH$ cắt đường thẳng $BH$ tại $I$.
a) Chứng minh tam giác $BHK$ đồng dạng với tam giác $CHI$.
b) Chứng minh $CI^2=IH.IB$.
c) Tia $B K$ cắt tia $CI$ tại $A$, tia $A H$ cắt $B C$ tại $D$. Chứng minh $K C$ là tia phân giác của $\widehat{I K...
Đọc tiếp
Bài 4. (2,5 điểm) Cho tam giác $K B C$ vuông tại $K$ ($K B < K C$). Tia phân giác của $\widehat{B}$ cắt cạnh $K C$ tại $H$. Qua $C$ vẽ đường thẳng vuông góc với tia $BH$ cắt đường thẳng $BH$ tại $I$.
a) Chứng minh tam giác $BHK$ đồng dạng với tam giác $CHI$.
b) Chứng minh $CI^2=IH.IB$.
c) Tia $B K$ cắt tia $CI$ tại $A$, tia $A H$ cắt $B C$ tại $D$. Chứng minh $K C$ là tia phân giác của $\widehat{I K D}$.
a) Xét hai tam giác vuông: \(\Delta BHK\) và \(\Delta CHI\) có:
\(\widehat{BHK}=\widehat{CHI}\) (đối đỉnh)
\(\Rightarrow\Delta BHK\) ∽ \(\Delta CHI\left(g-g\right)\)
b) Do \(BH\) là tia phân giác của \(\widehat{KBC}\) (gt)
\(\Rightarrow\widehat{KBH}=\widehat{CBH}\)
\(\Rightarrow\widehat{KBH}=\widehat{CBI}\) (1)
Do \(\Delta BHK\) ∽ \(\Delta CHI\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{KBH}=\widehat{ICH}\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\widehat{ICH}=\widehat{CBI}\)
Xét hai tam giác vuông: \(\Delta CIB\) và \(\Delta HIC\) có:
\(\widehat{CBI}=\widehat{ICH}\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow\Delta CIB\) ∽ \(\Delta HIC\left(g-g\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{CI}{IH}=\dfrac{IB}{CI}\)
\(\Rightarrow CI^2=IH.IB\)
c) Do \(CI\perp BH\) tại \(I\) (gt)
\(\Rightarrow BI\perp AC\)
\(\Rightarrow BI\) là đường cao của \(\Delta ABC\)
Lại có:
\(CK\perp KB\left(gt\right)\)
\(\Rightarrow CK\perp AB\)
\(\Rightarrow CK\) là đường cao thứ hai của \(\Delta ABC\)
Mà H là giao điểm của \(BI\) và \(CK\) (gt)
\(\Rightarrow AH\) là đường cao thứ ba của \(\Delta ABC\)
\(\Rightarrow AD\perp BC\)
Xét hai tam giác vuông: \(\Delta BKH\) và \(\Delta BDH\) có:
\(BH\) là cạnh chung
\(\widehat{KBH}=\widehat{DBH}\) (do BH là tia phân giác của \(\widehat{B}\))
\(\Rightarrow\Delta BKH=\Delta BDH\) (cạnh huyền - góc nhọn)
\(\Rightarrow BK=BD\) (hai cạnh tương ứng)
\(\Rightarrow B\) nằm trên đường trung trực của DK (3)
Do \(\Delta BKH=\Delta BDH\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow HK=HD\) (hai cạnh tương ứng)
\(\Rightarrow H\) nằm trên đường trung trực của DK (4)
Từ (3) và (4) \(\Rightarrow BH\) là đường trung trực của DK
\(\Rightarrow\widehat{DKH}+\widehat{BHK}=90^0\)
Mà \(\widehat{BHK}=\widehat{CHI}\) (cmt)
\(\Rightarrow\widehat{DKH}+\widehat{CHI}=90^0\) (*)
\(\Delta ABC\) có:
\(BH\) là đường phân giác (cmt)
\(BH\) cũng là đường cao (cmt)
\(\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại B
\(\Rightarrow BH\) là đường trung trực của \(\Delta ABC\)
\(\Rightarrow I\) là trung điểm của AC
\(\Rightarrow KI\) là đường trung tuyến của \(\Delta AKC\)
\(\Delta AKC\) vuông tại K có KI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC
\(\Rightarrow KI=IC=IA=\dfrac{AC}{2}\)
\(\Rightarrow\Delta IKC\) cân tại \(I\)
\(\Rightarrow\widehat{IKC}=\widehat{ICK}\)
\(\Rightarrow\widehat{IKH}=\widehat{ICH}\)
Mà \(\widehat{ICH}+\widehat{CHI}=90^0\)
\(\Rightarrow\widehat{IKH}+\widehat{CHI}=90^0\) (**)
Từ (*) và (**) \(\Rightarrow\widehat{IKH}=\widehat{DKH}\)
\(\Rightarrow KH\) là tia phân giác của \(\widehat{IKD}\)
Hay \(KC\) là tia phân giác của \(\widehat{IKD}\)
a) Vì tam giác 𝐾𝐵𝐶KBC vuông tại 𝐾K suy ra 𝐾𝐵𝐻^=90∘KBH=90∘
Vì 𝐶𝐼⊥𝐵𝐼CI⊥BI (gt) suy ra 𝐶𝑙𝐻^=90∘ClH=90∘
Xét △𝐾𝐵𝐻△KBH và △𝐶𝐻𝐼△CHI có:
𝐾𝐵𝐻^=𝐶𝐼𝐻^=90∘KBH=CIH=90∘;
𝐵𝐻𝐾^=𝐶𝐻𝐼^BHK=CHI (đối đỉnh)
Suy ra Δ𝐵𝐻𝐾∽Δ𝐶𝐻𝐼ΔBHK∽ΔCHI (g.g)
b) Ta có Δ𝐵𝐻𝐾∽Δ𝐶𝐻𝐼ΔBHK∽ΔCHI suy ra 𝐻𝐵𝐾^=𝐻𝐶𝐼^HBK=HCI (hai góc tương ứng)
Mà 𝐵𝐻BH là tia phân giác của 𝐴𝐵𝐶^ABC nên 𝐻𝐵𝐾^=𝐻𝐵𝐶^HBK=HBC.
Do đó 𝐻𝐵𝐶^=𝐻𝐶𝐼^HBC=HCI.
Xét △𝐶𝐼𝐵△CIB và △𝐻𝐼𝐶△HIC có:
𝐶𝐼𝐵^CIB chung;
𝐼𝐵𝐶^=𝐻𝐶𝐼^IBC=HCI (cmt)
Vậy Δ𝐶𝐼𝐵≈Δ𝐻𝐼𝐶ΔCIB≈ΔHIC (g.g) suy ra 𝐶𝐼𝐻𝐼=𝐼𝐵𝐼𝐶HICI=ICIB
Hay 𝐶𝐼2=𝐻𝐼.𝐼𝐵CI2=HI.IB
c) Xét △𝐴𝐵𝐶△ABC có 𝐵𝐼⊥𝐴𝐶BI⊥AC; 𝐶𝐾⊥𝐴𝐵CK⊥AB; 𝐵𝐼∩𝐶𝐾={𝐻}BI∩CK={H}
Nên 𝐻H là trực tâm △𝐴𝐵𝐶△ABC suy ra 𝐴𝐻⊥𝐵𝐶AH⊥BC tại 𝐷D.
Từ đó ta có △𝐵𝐾𝐶∽△𝐻𝐷𝐶△BKC∽△HDC (g.g) nên 𝐶𝐵𝐶𝐻=𝐶𝐾𝐶𝐷CHCB=CDCK
Suy ra 𝐶𝐵𝐶𝐾=𝐶𝐻𝐶𝐷CKCB=CDCH nên △𝐵𝐻𝐶∽△𝐾𝐷𝐶△BHC∽△KDC (c.g.c)
Khi đó 𝐻𝐵𝐶^=𝐷𝐾𝐶^HBC=DKC (hai góc tương ứng)
Chứng minh tương tự 𝐻𝐴𝐶^=𝐼𝐾𝐶^HAC=IKC
Mà 𝐻𝐴𝐶^=𝐻𝐵𝐶^HAC=HBC (cùng phụ 𝐴𝐶𝐵^ACB )
Suy ra 𝐷𝐾𝐶^=𝐼𝐾𝐶^ DKC=IKC.
Vậy 𝐾𝐶KC là tia phân giác của 𝐼𝐾𝐷^IKD.