Question

[Lê Thành Nhật]

Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến AM,BN,CP cắt nhau tại G.Trên tia đối của tia MG lấy Q sao cho MQ=MG.Gọi I và K lần lượt là trung điểm của BG và BQ 

A)Chứng minh các cạnh của tam giác BQG=2/3 độ dài của các đưòng trung tuyến của tam giác ABC

B)Chứng minh BN<1/2(BG+BQ)

C)Chứng minh các đường trung tuyến của tam giác BQG=1/2 độ dài các cạnh của tam giác ABC

   *Giúp mình với mình đang cần*

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Xét ΔABC có

AM,BN,CP là các đường trung tuyến

AM,BN,CP cắt nhau tại G

Do đó: G là trọng tâm của ΔABC

=>\(BG=\dfrac{2}{3}BN;CG=\dfrac{2}{3}CP;AG=\dfrac{2}{3}AM;AG=2GM\)

=>BG=2GN; CG=2GP

Xét tứ giác BGCQ có

M là trung điểm chung của BC và GQ

=>BGCQ là hình bình hành

=>BQ=CG=2/3CP; BG=CQ=2/3BN

Ta có: AG=2GM

mà GQ=2GM

nên GQ=GA

=>\(GQ=\dfrac{2}{3}AM\)

=>Δcác cạnh của tam giác BQG=2/3 độ dài của các đưòng trung tuyến của tam giác ABC

b: Sửa đề: BM<1/2(BG+BQ)

Xét ΔGBC có GB+GC>BC

=>GB+BQ>2BM

=>\(BM< \dfrac{1}{2}\left(BG+BQ\right)\)

c: Ta có: AG=GQ

=>G là trung điểm của AQ

Các đường trung tuyến của ΔBCQ là GK,QI,BM

Xét ΔQAB có

K,G lần lượt là trung điểm của QB,QA

=>KG là đường trung bình của ΔQAB

=>KG=1/2AB

Ta có: I là trung điểm của BG

=>BI=IG=BG/2

mà GN=BG/2

nên BI=IG=GN

=>G là trung điểm của IN

Xét tứ giác ANQI có

G là trung điểm chung của AQ và NI

=>ANQI là hình bình hành

=>\(QI=AN=\dfrac{AC}{2}\)

Vì M là trung điểm của BC

nên \(BM=\dfrac{1}{2}BC\)

=>ĐPCM