Với a,b,c >0 .Chứng minh rằng : a) nếu a<b thì \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+c}\)
b) a>=b thì \(\frac{a}{b}>=\frac{a+c}{b+c}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
N
17 tháng 12 2019
Ta có : \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\)
\(\Rightarrow\left(\frac{a}{b}\right)^2=\left(\frac{b}{c}\right)^2=\frac{ab}{bc}\)(Áp dụng tính chất a = b => a2 = b2 = ab)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}=\frac{b^2}{c^2}=\frac{ab}{bc}\)
\(\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}=\frac{a}{c}\)(Trừ khử b trên tử và dưới mẫu còn a/c)
CC
20 tháng 12 2019
\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\)\(\Rightarrow\left(\frac{a}{b}\right)^2=\left(\frac{b}{c}\right)^2=\frac{a^2}{b^2}=\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}\)
mà \(\left(\frac{a}{b}\right)^2=\frac{a}{b}.\frac{a}{b}=\frac{a}{b}.\frac{b}{c}=\frac{a}{c}\)
\(\Rightarrow\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}=\frac{a}{c}\)
NT
0
29 tháng 7 2017
\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\Rightarrow\frac{a}{b}.\frac{b}{c}=\frac{a}{b}.\frac{a}{b}=\frac{b}{c}.\frac{b}{c}\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{a^2}{b^2}=\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}\)
29 tháng 7 2017
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{b^2}=\frac{b^2}{c^2}=\frac{a}{b}.\frac{b}{c}=\frac{a}{c}=\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}\)
26 tháng 11 2019
Đặt \(\left(\frac{a-b}{c},\frac{b-c}{a},\frac{c-a}{b}\right)=\left(x,y,z\right)\)
Khi đó :
\(Q=\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=3+\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}\)
Ta có :
\(x+y=\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}=\frac{a^2-ab+bc-c^2}{ac}=\frac{b\left(c-a\right)-\left(c-a\right)\left(c+a\right)}{ca}\)
\(=\frac{b\left(c-a\right)-\left(c-a\right)\left(-b\right)}{ac}=\frac{2b\left(c-a\right)}{ca}\) ( do \(a+b+c=0\))
\(\Rightarrow\frac{x+y}{z}=\frac{2b\left(c-a\right)}{ca}.\frac{b}{c-a}=\frac{2b^2}{ca}=\frac{2b^3}{abc}\)
Hoàn toàn tương tự
\(\frac{y+z}{x}=\frac{2c^3}{abc};\frac{x+z}{y}=\frac{2a^3}{abc}\)
Do đó :
\(Q=3+\frac{x+y}{z}+\frac{y+z}{x}+\frac{x+z}{y}=3+\frac{2\left(a^3+b^3+c^3\right)}{abc}=3\)
\(=3+\frac{2\left[\left(-c\right)^3-3ab\left(-c\right)^3+c^3\right]}{abc}=3+\frac{2.3abc}{abc}=3+6=9\)
Ta có đpcm
12 tháng 8 2019
\(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b-c}=-\frac{b}{c-a}-\frac{c}{a-b}\)
\(=\frac{b}{a-c}+\frac{c}{b-a}\)
\(=\frac{b^2-ab+ac-c^2}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{\left(b-c\right)^2}=\frac{b^2-ab+ac-c^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\) ( 1 )
Tương tự,ta có:
\(\frac{b}{\left(c-a\right)^2}=\frac{c^2-ba+ba-a^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\) ( 2 )
\(\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=\frac{a^2-ac+cb-b^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}\) ( 3 )
Cộng vế theo vế của ( 1 );( 2 );( 3 ) suy ra đpcm
LH
22 tháng 4 2019
*Đặt P = (a-b)/c + (b-c)/a + (c-a)/b, ta có:
P = (a-b)/c + (b-c)/a + (c-a)/b
=> abc.P = ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a)
= ab(a-b) + bc(b-a + a-c) + ca(c-a)
= ab(a-b) - bc(a-b) - bc(c-a) + ca(c-a)
= b(a-b)(a-c) + c(c-a)(a-b)
= (a-b)(a-c)(b-c)
=> P = (a-b)(a-c)(b-c)/abc
*Đặt Q = c/(a-b) + a/(b-c) + b/(c-a), ta có:
Vì a+b+c = 0 => a+b = -c ; b+c = -a ; c+a = -b
Q = c/(a-b) + a/(b-c) + b/(c-a)
=> (a-b)(b-c)(c-a).Q = c(b-c)(c-a) + a(a-b)(c-a) + b(a-b)(b-c)
= c(b-c)(c-a) + (-b-c)(a-b)(c-a) + b(a-b)(b-c)
= c(b-c)(c-a) – c(a-b)(c-a) – b(a-b)(c-a) + b(a-b)(b-c)
= c(c-a)(2b-a-c) + b(a-b)(a+b-2c)
= 3bc(c-a) – 3bc(a-b)
= 3bc(b+c-2a)
= 3bc(-a-2a)
= -9abc
=> Q = -9abc/(a-b)(b-c)(c-a) = 9abc /(a-b)(b-c)(a-c)
Vậy P.Q = 9 (đpcm)
đặt VT =A đi .thì sử dụng BĐT bunhiacopxki ta có:
A[a(b+c)+b(c+d)+c(d+a)+d(a+b)]
>=(a+b+c+d)^2
giờ ta chỉ cần chứng minh:
(a+b+c+d)^2>=2a(b+c)+b(c+d)+c(d+a)+d(a...
điều này <=> với:a^2+b^2+c^2+d^2>=2ac+2bd.
diều này là hiển nhiên theo BĐT cô-si=>đpcm.MinA=2.