1. Cho a,b,c > 0. CmR: $\dfrac{a^2 b^2}{a b} \dfrac{b^2 c^2}{b c} \dfrac{c^2 a^2}{c a}\le3.\dfrac{a^2 b^2 c^2}{a b c}$2. Cho $f\left(x\right)=ax^2 bx c$ biết rằng: \(\hept{\begin{cases}\left|f\le...

#Toán lớp 9

1

TN

Thắng Nguyễn

3 tháng 9 2017

1.

Nhân 2 vế của BĐT với $\left(a+b+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)$

$3(a^2+b^2+c^2)(a+b)(b+c)(c+a)\ge(a+b+c)\left(Σ_{cyc}(a^2+b^2)(c+a)(c+b)\right)$

$\LeftrightarrowΣ_{perms}a^2b\left(a-b\right)^2\ge0$ *đúng*

1. Cho a,b,c > 0. CmR: $\dfrac{a^2+b^2}{a+b}+\dfrac{b^2+c^2}{b+c}+\dfrac{c^2+a^2}{c+a}\le3.\dfrac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}$ 2. Cho $f\left(x\right)=ax^2+bx+c$ biết rằng: $\left\{{}\begin{matrix}\left|f\left(0\right)\right|\le1\\\left|f\left(-1\right)\right|\le1\\\left|f\left(1\right)\right|\le1\end{matrix}\right.$ CmR: a) $\left|a\right|+\left|b\right|+\left|c\right|\le3$ b) \(\left|f\left(x\right)\right|\le\dfrac{5}{4}\forall...

T

TFBoys

3 tháng 9 2017

1

KN

Khánh Nguyễn

30 tháng 11 2017

sky oi say oh yeah

1)cho a,b,c >0. $cmr:\dfrac{1}{a^2+bc}+\dfrac{1}{b^2+ca}+\dfrac{1}{c^2+ab}\le\dfrac{a+b+c}{2abc}$ 2) cho a,b,c>0 và a+b+c=1. $cmr:\left(1+\dfrac{1}{a}\right)\left(1+\dfrac{1}{b}\right)\left(1+\dfrac{1}{c}\right)\ge64$ 3) cho a,b,c>0. $cme:\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}$ 4) cho a,b,c>0 .$cmr:\dfrac{a^3}{b^3}+\dfrac{b^3}{c^3}+\dfrac{c^3}{a^3}\ge\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}$ 5)cho a,b,c>0. cmr:...

PL

Phạm Lợi

3 tháng 1 2019

7

DB

đề bài khó wá

3 tháng 1 2019

3/ Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có :

$\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(ab\right)^2}{\left(bc\right)^2}}=\dfrac{2a}{c}$

$\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(bc\right)^2}{\left(ac\right)^2}}=\dfrac{2b}{a}$

$\dfrac{c^2}{a^2}+\dfrac{a^2}{b^2}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(ac\right)^2}{\left(ab\right)^2}}=\dfrac{2c}{b}$

Cộng 3 vế của BĐT trên ta có :

$2\left(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\right)\ge2\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)$

$\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\left(\text{đpcm}\right)$

AH

Akai Haruma

Giáo viên

4 tháng 1 2019

Bài 1:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{1}{2\sqrt{a^2.bc}}+\frac{1}{2\sqrt{b^2.ac}}+\frac{1}{2\sqrt{c^2.ab}}=\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}}{2abc}$

Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:

$\sqrt{bc}+\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\leq \frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}+\frac{a+b}{2}=a+b+c$

Do đó:

$\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}\leq \frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2abc}\leq \frac{a+b+c}{2abc}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

Đúng(1)

NT

Ngô Tấn Đạt

26 tháng 2 2018

Cho $\dfrac{bz+cy}{x\left(-ax+by+cz\right)}=\dfrac{cx+az}{y\left(ax-by+cz\right)}=\dfrac{ay+bx}{z\left(ax+by-cz\right)}$

CMR : $\dfrac{ay+bx}{c}=\dfrac{bz+cy}{a}=\dfrac{cx+az}{b}$

b) $\dfrac{x}{a\left(b^2+c^2-a^2\right)}=\dfrac{y}{b\left(a^2+c^2-b^2\right)}=\dfrac{z}{c\left(a^2+b^2-c^2\right)}$

#Toán lớp 7

1

NT

Ngô Tấn Đạt

26 tháng 2 2018

Phương Ann Nhã Doanh đề bài khó wá Mashiro Shiina Đinh Đức Hùng

Nguyễn Huy Tú Lightning Farron Akai Haruma

DH

dinh huong

17 tháng 8 2021

cho a,b,c>0 .CMR $\dfrac{a^2}{5a^2+\left(b+c\right)^2}+\dfrac{b^2}{5b^2+\left(c+a\right)^2}+\dfrac{c^2}{5c^2+\left(a+b\right)^2}\le\dfrac{1}{3}$

#Toán lớp 9

0

AL

acc lập ra để hỏi bất đẳng thức

14 tháng 2 2021

cho $\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\a+b+c\le\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.$

tìm $MinS=\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\dfrac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\dfrac{1}{a^2}}$

2

TM

Trần Minh Hoàng

14 tháng 2 2021

Lâu rồi không lên Hoc24

Áp dụng bất đẳng thức Minkowski, Schwarz và AM - GM ta có:

$S\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2}\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\dfrac{9}{a+b+c}\right)^2}=\sqrt{\left[\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{81}{16\left(a+b+c\right)^2}\right]+\dfrac{81.15}{16\left(a+b+c\right)^2}}\ge\sqrt{\dfrac{9}{2}+\dfrac{135}{4}}=\sqrt{\dfrac{153}{4}}=\dfrac{3\sqrt{17}}{2}$.

Đúng(2)

AL

acc lập ra để hỏi bất đẳng thức

14 tháng 2 2021

undefined

Sau khi chọn đc hệ số điểm rơi là 16 thì cơ sở nào tách tiếp ra 16 số rồi áp dụng cosi nữa vậy ạ??

TT

Tae Tae

13 tháng 1 2019

1. Tìm GTLN $y=x^3\left(2-x\right)^5$

2. Cho $0\le a\le1$. Chứng minh rằng $a\left(1-a^2\right)$$\le\dfrac{2}{3\sqrt{3}}$

3. Cho a,b,c >0

CMR: $\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}$

1

NP

Nhật Phong Vũ

13 tháng 1 2019

3.

$\dfrac{2a^2}{b^2}+2\dfrac{b^2}{c^2}+2\dfrac{c^2}{a^2}\ge2\left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\right)$

áp dụng bất đẳng thức cosi

+ $\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}\ge2\dfrac{a}{c}$

......

tương tự với 2 cái sau

B1: Cho $0\le a,b,c\le2$ thỏa mãn $a+b+c=3$. CMR: $a^2+b^2+c^2\le5$B2: Cho $a,b\ge0$ thỏa mãn $a^2+b^2=a+b$. TÌm GTLN $S=\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1}$B3: CMR: \(\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge\dfrac{4}{xy}\forall x\ne...

NT

Nguyễn Thị Huyền Diệp

21 tháng 3 2022

Cho a,b,c>0 thỏa mãn ab+bc+ca=1. CMR:

$\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+1}}\right)^3\le\dfrac{3}{2}\left(\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}+\dfrac{1}{c^2+1}\right)$

#Toán lớp 9

1

NV

Nguyễn Việt Lâm

Giáo viên

21 tháng 3 2022

Đẳng thức quen thuộc: $a^2+ab+bc+ca=\left(a+b\right)\left(a+c\right)$ và tương tự cho các mẫu số còn lại

Ta có:

$\sum\dfrac{1}{a^2+1}=\sum\dfrac{1}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=\dfrac{2\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}$

Mặt khác:

$2\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)=\left[a\left(b+c\right)+b\left(c+a\right)+c\left(a+b\right)\right]\left(a+b+c\right)$

$\ge\left(a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}\right)^2$ (Bunhiacopxki)

$\Rightarrow\sum\dfrac{1}{a^2+1}\ge\dfrac{\left(a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}\right)^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}$

$=\left(\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\dfrac{b}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\dfrac{c}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\right)^2$

$=\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+1}}\right)^2$

Do đó ta chỉ cần chứng minh:

$\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+1}}\le\dfrac{3}{2}$

$\Leftrightarrow\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\dfrac{b}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\dfrac{c}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\dfrac{3}{2}$

Đúng theo AM-GM:

$\sum\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\dfrac{1}{2}\sum\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}\right)=\dfrac{3}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

Đúng(2)

VD

Vô danh

3 tháng 4 2022