Cho tam giác ABC có góc A =90 độ. Trên cạnh BC lấy E sao cho BE = BA. Tia phân giác của góc B cắt AC tại D
a) Chứng minh tam giác ABD = tam giác EBD và DE vuông góc với BC
b)Gọi F là giao điểm của AB và DE
Chứng minh AF=CE
c)Gọi I là trung điểm của CF . Chứng minh B,D,I thẳng hàng
d)Chứng minh BAE=EAC+ECA
a; Xét tam giác ABD và tam giác EBD có:
\(\widehat{ABD}\) = \(\widehat{EBD}\) (vì BD là phân giác góc ABC)
AB = BE (gt)
Cạnh BD chung
⇒ \(\Delta\)ABD = \(\Delta\)EBD (c-g-c)
⇒\(\widehat{BED}\) = \(\widehat{BAD}\) = 900
⇒DE \(\perp\) BC
b; Xét tam giác BEF và tam giác ABC có:
\(\widehat{BAC}\) = \(\widehat{BEF}\) = 900
AB = BE (gt)
\(\widehat{ABE}\) chung
⇒ \(\Delta\)FBE = \(\Delta\)CBA (g-c-g)
⇒ BC = BF
BC = BE + EC = AB + AF
⇒ AF = EC
c; Xét tam giác BCF có BC = BF (cmt)
⇒ \(\Delta\)BCF cân tại B
BD là phân giác của góc B ⇒ BD là trung tuyến tam giác BCF
⇒BD \(\equiv\) BI ⇒ B;D;I thẳng hằng (vì qua một đỉnh chỉ kẻ được một đường trung tuyến của tam giác)
d; \(\widehat{AEB}\) = \(\widehat{EAC}\) + \(\widehat{ECA}\) (góc ngoài của tam giác bằng hai góc trong không kề với nó)
Xét tam giác ABE có: AB = BE (gt)
⇒ \(\Delta\)ABE cân tại B
⇒ \(\widehat{BAE}\) = \(\widehat{AEB}\) = \(\widehat{EAC}\) + \(\widehat{ECA}\) (đpcm)