Question

[Linh nguyễn]

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng a, góc DAB bằng 60 độ, tam giác SAB đều và nằm trên mặt phẳng vuông góc với mặt đáy, gọi M, N là trung điểm của AB, CD  tính cosin của góc giữa 2 đường thẳng AN và SD 

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Gọi E là điểm đối xứng M qua A

\(\Rightarrow ANDE\) là hình bình hành (cặp cạnh đối AE và DN song song và bằng nhau)

\(\Rightarrow AN||DE\Rightarrow\) góc giữa AN và SD bằng góc giữa SD và DE

Do tam giác ABD đều \(\Rightarrow MD\perp AB\) \(\Rightarrow\Delta MDE\) vuông tại M

Do tam giác SAB đều \(\Rightarrow SM\perp AB\)

Mà \(\left(SAB\right)\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SM\perp\left(ABCD\right)\)

\(\Rightarrow\) Các tam giác SMD, SME vuông tại M

\(SM=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) (trung tuyến tam giác SAB đều)

\(MD=\dfrac{AB\sqrt{3}}{2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) (trung tuyến tam giác ABD đều)

\(ME=2AM=AB=a\)

Pitago:

\(SD=\sqrt{SM^2+MD^2}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\)

\(SE=\sqrt{SM^2+ME^2}=\dfrac{a\sqrt{7}}{2}\)

\(ED=\sqrt{MD^2+ME^2}=\dfrac{a\sqrt{7}}{2}\)

\(\Rightarrow cos\widehat{SDE}=\dfrac{SD^2+ED^2-SE^2}{2SD.ED}=\dfrac{\sqrt{42}}{14}\)

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]