CMR: \(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}>=\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{\dfrac{b^2+c^2}{2}}+\sqrt{\dfrac{c^2+a^2}{2}}\left(a,b,c>0\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
20 tháng 1 2018
Lời giải:
Đặt \(\left ( \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{c},\frac{\sqrt{b^2+c^2}}{a}, \frac{\sqrt{c^2+a^2}}{b} \right )=(x,y,z)\)
BĐT cần chứng minh tương đương với:
\(x+y+z\geq 2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)\((*)\)
------------------------------------------------------------------
Từ cách đặt $x,y,z$ ta có:
\(\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}+\frac{1}{z^2+1}=1\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\frac{x^2+1}{x^2}+\frac{y^2+1}{y^2}+\frac{z^2+1}{z^2}=\left(\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}+\frac{1}{z^2+1}\right)\left(\frac{x^2+1}{x^2}+\frac{y^2+1}{y^2}+\frac{z^2+1}{z^2}\right)\)
\(\geq \left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow 3\geq 2\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\right)\)
\(\Leftrightarrow xyz\geq \frac{2}{3}(x+y+z)\)
\(\Rightarrow xyz(x+y+z)\geq \frac{2}{3}(x+y+z)^2\)
Áp dụng BĐT AM_GM ta lại có:
\((x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+xz)\). Do đó:
\(xyz(x+y+z)\geq 2(xy+yz+xz)\)
\(\Leftrightarrow x+y+z\geq 2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
Đúng theo \((*)\)
Do đó ta có đpcm
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\)
20 tháng 1 2018
áp dụng bat dang thuc bunhiacóki
ta có \(\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{c}\ge\dfrac{a+b}{\sqrt{2}c}\)
ttu vt \(\ge\dfrac{1}{\sqrt{2}}\left(\dfrac{a+b}{c}+\dfrac{b+c}{a}+\dfrac{c+a}{b}\right)\)
=\(\dfrac{a}{\sqrt{2}}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)+\dfrac{b}{\sqrt{2}}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}\right)+\dfrac{c}{\sqrt{2}}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\) (1)
áp dung bdt \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
ta có (1) \(\ge\dfrac{a}{\sqrt{2}}.\dfrac{4}{b+c}\)
tiếp tục áp dụng bunhia ta có \(\dfrac{a}{\sqrt{2}}.\dfrac{4}{b+c}\ge\dfrac{a}{\sqrt{2}}.\dfrac{4}{\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}}=\dfrac{2a}{\sqrt{b^2+c^2}}\)
ttuong tu ta có \(vt\ge2\left(\dfrac{a}{\sqrt{b^2+c2}}+\dfrac{b}{\sqrt{a^2+c^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)\left(dpcm\right)\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 3 2022
Đẳng thức quen thuộc: \(a^2+ab+bc+ca=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\) và tương tự cho các mẫu số còn lại
Ta có:
\(\sum\dfrac{1}{a^2+1}=\sum\dfrac{1}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=\dfrac{2\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
Mặt khác:
\(2\left(ab+bc+ca\right)\left(a+b+c\right)=\left[a\left(b+c\right)+b\left(c+a\right)+c\left(a+b\right)\right]\left(a+b+c\right)\)
\(\ge\left(a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}\right)^2\) (Bunhiacopxki)
\(\Rightarrow\sum\dfrac{1}{a^2+1}\ge\dfrac{\left(a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}\right)^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(=\left(\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\dfrac{b}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\dfrac{c}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\right)^2\)
\(=\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+1}}\right)^2\)
Do đó ta chỉ cần chứng minh:
\(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}+\dfrac{b}{\sqrt{b^2+1}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+1}}\le\dfrac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\dfrac{b}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}+\dfrac{c}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\dfrac{3}{2}\)
Đúng theo AM-GM:
\(\sum\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\dfrac{1}{2}\sum\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}\right)=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 12 2020
Hai bài giống hệt nhau về cách làm:
Cho a, b, c > 0 thoả mãn: \(a b c=\sqrt{a} \sqrt{b} \sqrt{c}=2\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{\sqrt{a}}{a 1} \dfrac{\sqrt{... - Hoc24
HN
12 tháng 4 2017
Không ai thảo luận câu này sao. T khởi động trước nhá.
Ta có: \(\cos\left(\dfrac{A-B}{2}\right)=\dfrac{\cos\left(\dfrac{A-B}{2}\right).\cos\left(\dfrac{A+B}{2}\right)}{\sin\dfrac{C}{2}}\)
\(=\dfrac{\cos A+\cos B}{2\sqrt{\dfrac{1-\cos C}{2}}}=\dfrac{\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ca}}{2\sqrt{\dfrac{1-\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}}{2}}}\)
\(=\dfrac{\dfrac{\left(a+b\right)\left(c^2-\left(a-b\right)^2\right)}{abc}}{2\sqrt{\dfrac{c^2-\left(a-b\right)^2}{ab}}}=\dfrac{\left(a+b\right)\sqrt{c^2-\left(a-b\right)^2}}{2c\sqrt{ab}}\)
Ta sẽ chứng minh: \(\dfrac{\left(a+b\right)\sqrt{c^2-\left(a-b\right)^2}}{2c\sqrt{ab}}\le\dfrac{a+b}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{2abc^2}{c^2-\left(a-b\right)^2}\ge a^2+b^2\)
\(\Leftrightarrow2abc^2-\left(a^2+b^2\right)\left(c^2-\left(a-b\right)^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+b^2-c^2\right)\ge0\) (đúng vì tam giác ABC nhọn)
\(\Rightarrow\cos\left(\dfrac{A-B}{2}\right)\le\dfrac{a+b}{\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}\left(1\right)\)
Tương tự ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\cos\left(\dfrac{B-C}{2}\right)\le\dfrac{b+c}{\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}}\left(2\right)\\\cos\left(\dfrac{C-A}{2}\right)\le\dfrac{c+a}{\sqrt{2\left(c^2+a^2\right)}}\left(3\right)\end{matrix}\right.\)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được ĐPCM.
18 tháng 4 2017
Thảo luận mình là người thứ 2
Chẳng thấy đề có kết nối giữa hai đại lượng [(ABC);(a,b,c)]
gì cả --> thiếu mối liên lạc cần thiết -->đề chưa thực sự rõ rằng --->Đề có suy biến --->lời giải (nếu có) phải là lời giải biện luận theo đề--->chưa thể chấp nhận lời giải trên
26 tháng 5 2018
Từ \(a^2+b^2+c^2=3\Rightarrow a+b+c\le3\)
Ta có: \(\sqrt{\dfrac{9}{\left(a+b\right)^2}+c^2}+\sqrt{\dfrac{9}{\left(b+c\right)^2}+a^2}+\sqrt{\dfrac{9}{\left(c+a\right)^2}+b^2}\)
\(\ge\sqrt{9\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)^2+\left(a+b+c\right)^2}\)
\(\ge\sqrt{9\cdot\left(\dfrac{9}{2\left(a+b+c\right)}\right)^2+\left(a+b+c\right)^2}\)
Cần chứng minh \(\sqrt{9\cdot\left(\dfrac{9}{2\left(a+b+c\right)}\right)^2+\left(a+b+c\right)^2}\ge\dfrac{3\sqrt{13}}{2}\)
\(\Leftrightarrow9\left(\dfrac{9}{2t}\right)^2+t^2\ge\dfrac{117}{4}\left(t=a+b+c\le3\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(t-3\right)\left(2t-9\right)\left(t+3\right)\left(2t+9\right)}{4t^2}\ge0\)*Đúng*
9 tháng 6 2018
B1:a)ĐK: \(x\ne 0;4;9\)
b)\(P=\left(\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}+\dfrac{\sqrt{x}+2}{3-\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6}\right):\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{x}+1}\right)\)
\(=\left(\dfrac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}-\dfrac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}+\dfrac{\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\right):\left(\dfrac{\sqrt{x}-1+1}{\sqrt{x}+1}\right)\)
\(=\dfrac{x-9-x+4+x^{\dfrac{1}{2}}+2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}:\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\)
\(=\dfrac{x^{\dfrac{1}{2}}-3}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\cdot\dfrac{\sqrt{x}+1}{x^{\dfrac{1}{2}}}\)
\(=\dfrac{1}{\sqrt{x}-2}\cdot\dfrac{\sqrt{x}+1}{x^{\dfrac{1}{2}}}\)\(=\dfrac{\sqrt{x}+1}{x-2\sqrt{x}}\)
c)Vì \(x^{\dfrac{1}{2}}+1>0\forall x\) nên
\(P< 0< =>x-2x^{\dfrac{1}{2}}< 0\)
\(\Leftrightarrow x^{\dfrac{1}{2}}\left(x^{\dfrac{1}{2}}-2\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow0< x< 4\)
Vậy 0<x<4 thì P<0
d)tA CÓ: \(\dfrac{1}{P}=\dfrac{x-2x^{\dfrac{1}{2}}}{x^{\dfrac{1}{2}}+1}=\dfrac{x-2x^{\dfrac{1}{2}}+1-1}{x^{\dfrac{1}{2}}+1}=\dfrac{\left(x^{\dfrac{1}{2}}-1\right)^2-1}{x^{\dfrac{1}{2}}+1}\ge-1\)
"=" khi x=1
B2:
a)\(A=x^2-2xy+y^2+4x-4y-5\)
\(=\left(x-y\right)^2+4\left(x-y\right)-5\)
\(=\left(x-y\right)^2-1+4\left(x-y\right)-4\)
\(=\left(x-y+1\right)\left(x-y-1\right)+4\left(x-y-1\right)\)
\(=\left(x-y+5\right)\left(x-y-1\right)\)
b)\(P=x^4+2x^3+3x^2+2x+1\)
\(=\left(x^4+2x^3+x^2\right)+2\left(x^2+x\right)+1\)
\(=\left(x^2+x\right)^2+2\left(x^2+x\right)+1\)
\(=\left(x^2+x+1\right)^2\ge0\forall x\)
Vậy MinP=0
c)\(Q=x^6+2x^5+2x^4+2x^3+2x^2+2x+1\)
\(=\left(x^2+x-1\right)\left(x^4+x^3+2x^2+x+3\right)+4\)
\(=\left(1-1\right)\left(x^4+x^3+2x^2+x+3\right)+4\)
\(=0\left(x^4+x^3+2x^2+x+3\right)+4=4\)
Vậy x^2+x=1 thì Q=4
B3:a)\(2xy+x+y=83\)
\(\Leftrightarrow x\left(2y+1\right)+\dfrac{1}{2}\left(2y+1\right)=\dfrac{167}{2}\)
\(\Leftrightarrow2x\left(2y+1\right)+1\left(2y+1\right)=167\)
\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)\left(2y+1\right)=167\)
Mà \(Ư\left(167\right)=\left\{\pm1;\pm167\right\}\)
\(\Leftrightarrow\left(x;y\right)=\left(-84;-1\right);\left(-1;-84\right);\left(0;83\right);\left(83;0\right)\)
Vậy...
b)\(y^2+2xy-3x-2=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+2xy-x^2-3x-2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=x^2+3x+2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=\left(x+1\right)\left(x+2\right)\)
Vì \(x;y\in Z\) nên VT là số chính phương VP là tích 2 số nguyên liên tiếp
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+1=0\\x+2=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=-2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=1\\y=2\end{matrix}\right.\)
Vậy...
B5:\(B=\dfrac{x^2+x+1}{x^2-x+1}\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(B-1\right)+x\left(-B-1\right)+\left(B-1\right)=0\)
\(\Delta=\left(-B-1\right)^2-4\left(B-1\right)\left(B-1\right)\)
\(=-\left(B-3\right)\left(3B-1\right)\)
pt có nghiệm khi \(\Delta\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(B-3\right)\left(3B-1\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}B-3\le0\\3B-1\ge0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}B\le3\\B\ge\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)
Min B=1/3 khi x=-1; Max B=3 khi x=1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
28 tháng 6 2021
Đề bài hình như bị sai em, thay điểm rơi ko thỏa mãn
Biểu thức là \(a+b+\sqrt{2\left(a+c\right)}\) mới đúng
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 3 2021
Bài 1:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{(a+1)(b+1)(c+1)}}$
$\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{abc}{(a+1)(b+1)(c+1)}}$
Cộng theo vế và thu gọn:
$\frac{a+1}{a+1}+\frac{b+1}{b+1}+\frac{c+1}{c+1}\geq \frac{3(1+\sqrt[3]{abc})}{\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}$
$\Leftrightarrow 3\geq \frac{3(1+\sqrt[3]{abc})}{\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}$
$\Rightarrow (a+1)(b+1)(c+1)\geq (1+\sqrt[3]{abc})^3$
Ta có đpcm.
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 3 2021
Bài 2:
$a^3+a^3+a^3+a^3+b^3+c^3\geq 6\sqrt[6]{a^{12}b^3c^3}=6a^2\sqrt{bc}$
$b^3+b^3+b^3+b^3+a^3+c^3\geq 6b^2\sqrt{ac}$
$c^3+c^3+c^3+c^3+a^3+b^3\geq 6c^2\sqrt{ab}$
Cộng theo vế và rút gọn thu được:
$a^3+b^3+c^3\geq a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab}$
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
Áp dụng BĐT Holder:
\(\left(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\right)\left(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\right)\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)^3\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\right)^2\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^3}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}\)
Mà:
\(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)
\(\Rightarrow\left(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\right)^2\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{c}+\dfrac{c^2}{a}\ge\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\) (1)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
\(\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{\dfrac{b^2+c^2}{2}}+\sqrt{\dfrac{c^2+a^2}{2}}\le\sqrt{3\left(\dfrac{a^2+b^2}{2}+\dfrac{b^2+c^2}{2}+\dfrac{c^2+a^2}{2}\right)}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{\dfrac{b^2+c^2}{2}}+\sqrt{\dfrac{c^2+a^2}{2}}\le\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\) (2)
(1);(2) suy ra điều phải chứng minh
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)