Chứng tỏ \(B=\dfrac{x^4-x^3-x+1}{x^4+x^3+3x^2+2\left(x+1\right)}\) không âm với mọi giá trị x
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Do giá trị tuyệt đối \(2x^4+3x^2+1\)và giá trị tuyệt đói của \(-2x^4-x^2+1\)luôn \(\ge\)0 với mọi x ,y
nên A = \(2x^4+3x^2+1+2x^4+x^2-1\)
\(=4x^4+4x^2=4\left(x^4+x^2\right)\)
Do \(x^4+x^2\ge\)0 với mọi x
\(\Rightarrow\)\(4\left(x^4+x^2\right)\)\(\ge\)0 với mọi x
\(\Rightarrow\)A \(\ge\)0 với mọi x
\(\Rightarrow\) A không âm với mọi x (đpcm)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Vì \(x^2-4x+5=x^2-4x+4+1=\left(x-2\right)^2+1\ge1>0\) với mọi giá trị của \(x\) nên giá trị của biểu thức luôn luôn âm với mọi giá trị khác 0 và khác -3 của \(x\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a: \(=\dfrac{4x-8\sqrt{x}+8x}{x-4}:\dfrac{\sqrt{x}-1-2\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}\)
\(=\dfrac{4\sqrt{x}\left(3\sqrt{x}-2\right)}{x-4}\cdot\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{-\sqrt{x}+3}=\dfrac{-4x\left(3\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)
b: \(m\left(\sqrt{x}-3\right)\cdot B>x+1\)
=>\(-4xm\left(3\sqrt{x}-2\right)>\left(\sqrt{x}+2\right)\cdot\left(x+1\right)\)
=>\(-12m\cdot x\sqrt{x}+8xm>x\sqrt{x}+2x+\sqrt{x}+2\)
=>\(x\sqrt{x}\left(-12m-1\right)+x\left(8m-2\right)-\sqrt{x}-2>0\)
Để BPT luôn đúng thì m<-0,3
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lời giải:
$M=\frac{3(x^2+1)+x^2y^2+y^2-2}{(x+y)^2+5}=\frac{3x^2+x^2y^2+y^2+1}{(x+y)^2+5}$
Ta thấy:
$x^2\geq 0; x^2y^2\geq 0; y^2\geq 0$ nên:
$3x^2+x^2y^2+y^2+1\geq 1>0$ với mọi $x\mathbb{Q}, y\in\mathbb{R}$
$(x+y)^2\geq 0\Rightarrow (x+y)^2+5\geq 5>0$ với mọi
$x\mathbb{Q}, y\in\mathbb{R}$
Do đó: $M>0$ (do cả tử và mẫu đều lớn hơn 0)
Hay $M$ là số dương (đpcm)
\(P=\dfrac{x^4-x^3-x+1}{x^4+x^3+3x^2+2\left(x+1\right)}=\dfrac{x^3\left(x-1\right)-\left(x-1\right)}{\left(x^4+x^3+x^2\right)+\left(2x^2+2x+2\right)}\)
\(=\dfrac{\left(x^3-1\right)\left(x-1\right)}{x^2\left(x^2+x+1\right)+2\left(x^2+x+1\right)}=\dfrac{\left(x-1\right)^2\left(x^2+x+1\right)}{\left(x^2+2\right)\left(x^2+x+1\right)}=\dfrac{\left(x-1\right)^2}{x^2+2}\)
Ta thấy: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\\x^2+2\ge2>0\forall x\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left(x-1\right)^2}{x^2+2}\ge0\forall x\Leftrightarrow P\ge0\forall x\)
hay \(P\) không âm với mọi giá trị của \(x\).