1. Chứng minh BĐT a, \(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge-a-b-c\)b, \(2a^2+2b^2+8\ge2ab+a+b\)2. Cho x,y,z \(\ge0\). Chứng minh \(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge3\)3. Cho \(a,b,c\ge0,a+b+c=1\).Chứng minh \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\)4. Cho \(x,y,z\ge0\)Chứng...
Đọc tiếp
1. Chứng minh BĐT
a, \(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge-a-b-c\)
b, \(2a^2+2b^2+8\ge2ab+a+b\)
2. Cho x,y,z \(\ge0\). Chứng minh \(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge3\)
3. Cho \(a,b,c\ge0,a+b+c=1\).Chứng minh \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\)
4. Cho \(x,y,z\ge0\)Chứng minh \(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge8xyz\)
a) Giả sử bất đẳng thức trên là đúng \(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}+a+b+c\ge0\)\(\Rightarrow\left(a^2+a+\frac{1}{4}\right)+\left(b^2+b+\frac{1}{4}\right)+\left(c^2+c+\frac{1}{4}\right)\ge0\)(luôn đúng với mọi a,b,c), ta có ĐPCM câu b tương tự nha bn!
Bài 2:Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge3\sqrt[3]{\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{z}\cdot\frac{z}{x}}=3\)
Khi a=b=c
Bài 3:
Áp dụng BĐT C-S dạng ENgel ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=9\)
Khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Bài 4:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(x+y\ge2\sqrt{xy};y+z\ge2\sqrt{yz};x+z\ge2\sqrt{xz}\)
Nhân theo vế 3 BĐT trên ta có ĐPCM
Khi x=y=z