Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi I là điểm \(\overrightarrow{SO}=4\overrightarrow{SI}\). (a) là mặt phẳng đi qua AI và cắt SB, SC, SD thứ tự tại N, P, Q. Tính \(\dfrac{SB}{SN}+\dfrac{SC}{SP}+\dfrac{SD}{SQ}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 1
Em kiểm tra lại đề, \(\left(\alpha\right)\) đi qua AI nên nó không thể cắt SA tại M được nữa (vì nó đi qua A nên đã cắt SA tại A rồi)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 1
Gọi O là giao điểm AC và BD, theo t/c hình bình hành \(\Rightarrow O\) là trung điểm AC và BD
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\\\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}\end{matrix}\right.\)
Từ giả thiết:
\(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MS}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow5.\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OS}=0\)
\(\Leftrightarrow\overrightarrow{OM}=\dfrac{1}{5}\overrightarrow{OS}\)
Hay M là điểm thuộc đoạn thẳng OS sao cho \(OM=\dfrac{1}{5}OS\) \(\Rightarrow SM=4MO\)
Do M thuộc OS \(\Rightarrow M\in\left(SAC\right)\), kéo dài AM cắt SC tại \(C'\) \(\Rightarrow C'\) là điểm cố định (bất chấp vị trí mặt phẳng (P))
Áp dụng định lý Menelaus trong tam giác SOC với 3 điểm A, M, C' thẳng hàng:
\(\dfrac{MS}{MO}.\dfrac{OA}{AC}.\dfrac{CC'}{C'S}=1\Rightarrow4.\dfrac{1}{2}.\dfrac{CC'}{C'S}=1\Rightarrow\dfrac{CC'}{SC'}=\dfrac{1}{2}\)
Bây giờ tới B' và D'.
Cách đơn giản nhất là đề ko cho biết rõ về mp (P), nó chỉ cần chứa AM là đủ, do đó ta chọn vị trí đơn giản nhất của (P) để tính, đó là (P) song song BD. Khi đó, qua M kẻ đường thẳng song song BD lần lượt cắt SB, SD tại B' và D'
Theo định lý Talet:
\(\dfrac{BB'}{SB'}=\dfrac{DD'}{SD'}=\dfrac{MO}{SM}=\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow\dfrac{BB'}{SB'}+\dfrac{CC'}{SC'}+\dfrac{DD'}{SD'}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}=1\)
Trong trường hợp ko muốn làm kiểu chọn mp đặc biệt này thì ta có thể chọn vị trí bất kì cho B', nhưng sẽ tốn thời gian hơn nhiều. Nếu em cần thì cũng có thể giải quyết theo cách ấy.
CM
26 tháng 9 2017
Với x = S A S A = 1 ; y = S M S B , z = S N S C ; t = S P S D
ta có 1 x + 1 z = 1 y + 1 t và xét tam giác SAC ta có
Mặt khác ba điểm A, I, N thẳng hang nên
1 4 + 1 4 z = 1 ⇔ z = 1 3
Do đó 1 y + 1 t = 1 1 + 1 1 3 = 4 ⇒ y = t 4 t - 1
Vì vậy
Dấu bằng đạt tại t = 1 2 ; y = 1 2 . Tức mặt phẳng α đi qua trung điểm các cạnh SB. SD.
Chọn đáp án C.
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 1
Trước hết ta chứng minh 1 bổ đề đơn giản về diện tích tam giác như sau (em tự vẽ hình)
Cho tam giác ABC, trên các cạnh AB và AC lần lượt lấy 2 điểm B' và C', khi đó ta có:
\(\dfrac{S_{AB'C'}}{S_{ABC}}=\dfrac{AB'.AC'}{AB.AC}\)
Chứng mình: từ C và C' lần lượt hạ CH và C'H' vuông góc AB, khi đó CH song song C'H' nên theo Talet:
\(\dfrac{C'H'}{CH}=\dfrac{AC'}{AC}\)
\(\Rightarrow\dfrac{S_{AB'C'}}{S_{ABC}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}C'H'.AB'}{\dfrac{1}{2}CH.AB}=\dfrac{AC'.AB'}{AC.AB}\)
Quay lại bài, gọi O là tâm đáy
Trong mp (SAC), tại O' là giao điểm của SO và A'C'
Ba mặt phẳng (SAC), (SBD), \(\left(\alpha\right)\) cắt nhau theo 3 giao tuyến phân biệt là SO, A'C', B'D' nên 3 giao tuyến này song song hoặc đồng quy.
Mà SO và A'C' cắt nhau tại O' nên 3 đường thẳng nói trên đồng quy tại O'
Ta có:
\(S_{SA'C'}=S_{SA'O'}+S_{SC'O'}\Rightarrow\dfrac{S_{SA'C'}}{S_{SAC}}=\dfrac{S_{SA'O'}}{S_{SAC}}+\dfrac{S_{SC'O'}}{S_{SAC}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{S_{SA'C'}}{S_{SAC}}=\dfrac{S_{SA'O'}}{2S_{SAO}}+\dfrac{S_{SC'O'}}{S_{SCO}}\Rightarrow\dfrac{SA'.SC'}{SA.SC}=\dfrac{SA'.SO'}{2SA.SO}+\dfrac{SC'.SO'}{2SC.SO}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{SA'.SC'}{SA.SC}=\dfrac{SO'}{2SO}\left(\dfrac{SA'}{SA}+\dfrac{SC'}{SC}\right)\)
\(\Leftrightarrow SA'.SC'=\dfrac{SO'}{2SO}\left(SC.SA'+SA.SC'\right)\)
\(\Leftrightarrow1=\dfrac{SO'}{2SO}\left(\dfrac{SC}{SC'}+\dfrac{SA}{SA'}\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{SA}{SA'}+\dfrac{SC}{SC'}=\dfrac{2SO}{SO'}\)
Hoàn toàn tương tự, ta cũng có \(\dfrac{SB}{SB'}+\dfrac{SD}{SD'}=\dfrac{2SO}{SO'}\)
\(\Rightarrow\dfrac{SA}{SA'}+\dfrac{SC}{SC'}-\left(\dfrac{SB}{SB'}+\dfrac{SD}{SD'}\right)=0\)
CM
11 tháng 2 2017
Chọn A
Gọi O là gia điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD. Gọi I là giao điểm của SO và AM. Khi đó
Bài này cũng có thể ứng dụng bài này (vẫn là sử dụng diện tích tam giác):
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Giả sử mp (a) cắt SA; SB;SC; SD thứ tự tại A' B' C' D'. Tính \(\dfra... - Hoc24
Nhưng đặc biệt hơn 1 chút là nó đi qua điểm A luôn (vậy ta có thể coi như (P) cắt SA tại A và áp dụng nó vẫn đúng):
\(\dfrac{SA}{SA}+\dfrac{SC}{SP}=\dfrac{SB}{SN}+\dfrac{SD}{SQ}=\dfrac{2SO}{SI}=8\)
\(\Rightarrow1+\dfrac{SB}{SN}+\dfrac{SC}{SP}+\dfrac{SD}{SQ}=16\)
\(\Rightarrow\dfrac{SB}{SN}+\dfrac{SC}{SP}+\dfrac{SD}{SQ}=15\)