cho tam giác abc và G là 1 điểm thuộc miền trong tam giác abc . Kéo dài BG,AG,CG cắt BC,AC,AB lần lượt tạo M,N . Chứng minh rằng: \(\frac{GM}{AM}+\frac{GN}{BN}+\frac{GP}{CP}=1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
29 tháng 9 2016
Ta có : \(\frac{OM}{AM}=\frac{S_{BOC}}{S_{ABC}}\) ; \(\frac{ON}{BN}=\frac{S_{AOC}}{S_{ABC}}\) ; \(\frac{OP}{CP}=\frac{S_{AOB}}{S_{ABC}}\)
\(\Rightarrow\frac{OM}{AM}+\frac{ON}{BN}+\frac{OP}{CP}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\)
Áp dụng bđt Bunhiacopxki, ta có :
\(\frac{AM}{OM}+\frac{BN}{ON}+\frac{CP}{OP}=\left(\frac{AM}{OM}+\frac{BN}{ON}+\frac{CP}{OP}\right).\left(\frac{OM}{AM}+\frac{ON}{BN}+\frac{OP}{CP}\right)\ge\)
\(\ge\left(\sqrt{\frac{AM}{OM}.\frac{OM}{AM}}+\sqrt{\frac{BN}{ON}.\frac{ON}{BN}}+\sqrt{\frac{CP}{OP}.\frac{OP}{CP}}\right)^2=\left(1+1+1\right)^2=9\)
Vậy \(\frac{AM}{OM}+\frac{BN}{ON}+\frac{CP}{OP}\ge9\) (đpcm)
23 tháng 5 2021
a) Ta có ^APB = ^BAC/2 + ^ABC/2 + ^ACB = 900 + ^ACB/2 = ^AMP; ^BAP = MAP
Suy ra \(\Delta\)AMP ~ \(\Delta\)APB (g.g) => \(\frac{AM}{PM}=\frac{AP}{BP}\). Tương tự \(\frac{PN}{BN}=\frac{AP}{BP}\)
Từ đó \(\frac{AM}{BN}.\frac{PN}{PM}=\left(\frac{AP}{BP}\right)^2\). Dễ thấy PM = PN, vậy \(\frac{AM}{BN}=\left(\frac{AP}{BP}\right)^2\)
b) Theo hệ thức lượng và tam giác đồng dạng, ta có biến đổi sau:
\(\frac{AM}{AC}+\frac{BN}{BC}+\frac{CP^2}{BC.AC}\)
\(=\frac{AM}{AP}.\frac{AP}{AC}+\frac{BN}{BP}.\frac{BP}{BC}+\frac{CP^2}{BC.AC}\)
\(=\frac{AP^2}{AB.AC}+\frac{BP^2}{BA.BC}+\frac{CP^2}{CA.CB}\)
\(=\frac{AP^2.BC+BP^2.CA+CP^2.AB}{BC.CA.AB}\)
\(=\frac{AP^2.\sin A+BP^2.\sin B+CA^2.\sin C}{2S}\)(S là diện tích tam giác ABC)
\(=\frac{AP^2.\sin\frac{A}{2}.\cos\frac{A}{2}+BP^2.\sin\frac{B}{2}.\cos\frac{B}{2}+CP^2.\sin\frac{C}{2}.\cos\frac{C}{2}}{S}\)
\(=\frac{FA.FP+DB.DP+EC.EP}{S}=\frac{dt\left[AFPE\right]+dt\left[BDPF\right]+dt\left[CEPD\right]}{S}=1.\)
22 tháng 9 2023
Tham khảo:
a) Ta có: M là trọng tâm của tam giác BCD
Nên M nằm trên trung tuyến BI (1)
Ta có: N là trọng tâm của tam giác ACD
Nên N nằm trên trung tuyến AI (2)
Từ (1) và (2) suy ra M và N thuộc mp (ABI)
b) Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AG, BG
Ta có: HK // AB
AB // MN
Suy ra MN // HK
Theo định lý Ta-let, ta có: \(\frac{{GM}}{{GH}} = \frac{{GN}}{{GK}} = \frac{{MN}}{{HK}}(1)\)
Ta có:\(\frac{{HK}}{{AB}} = \frac{1}{2},\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{1}{3}\)
Do đó \(\frac{{MN}}{{AB}}:\frac{{HK}}{{AB}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{MN}}{{HK}} = \frac{2}{3}(2)\)
Từ (1) và (2) suy ra\(\frac{{GM}}{{GH}} = \frac{2}{3}GH = \frac{1}{2}GA \Rightarrow \frac{{GM}}{{\frac{1}{2}GA}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{GM}}{{GA}} = \frac{1}{3}\)
Chứng minh tương tự ta được\(\frac{{GN}}{{GB}} = \frac{1}{3}\)
c) Gọi H, K lần lượt là trung điểm của BC, BD
Tam giác AHD có:\(\frac{{HM}}{{HD}} = \frac{{HQ}}{{HA}} = \frac{1}{3}\)
Suy ra: QM // AD
Do đó, tam giác QGM đồng dạng với tam giác DGA
Nên D, G, Q thẳng hàng
Ta có: QM // AD nên \(\frac{{QM}}{{AD}} = \frac{{HM}}{{HD}} = \frac{{HQ}}{{HA}} = \frac{1}{3}\)
Mà \(\frac{{QM}}{{AD}} = \frac{{QG}}{{GD}}\)
Do đó:\(\frac{{QG}}{{GD}} = \frac{1}{3}\)
Chứng minh tương tự ta được\(\frac{{GP}}{{GC}} = \frac{1}{3}\)
Suy ra điều cần chứng minh.
