Cho tam giác ABC có \(\widehat A = {120^ \circ },b = 8,c = 5.\) Tính:
a) Cạnh a và các góc \(\widehat B,\widehat C.\)
b) Diện tích tam giác ABC
c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường cao AH của tam giác.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
25 tháng 9 2023
Tham khảo:
a) Áp dụng hệ quả của định lí cosin, ta có:
\(\begin{array}{l}\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}};\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos A = \frac{{{{10}^2} + {{13}^2} - {8^2}}}{{2.10.13}} = \frac{{41}}{{52}} > 0;\\\cos B = \frac{{{8^2} + {{13}^2} - {{10}^2}}}{{2.8.13}} = \frac{{133}}{{208}} > 0\\\cos C = \frac{{{8^2} + {{10}^2} - {{13}^2}}}{{2.8.10}} = - \frac{1}{{32}} < 0\end{array} \right.\end{array}\)
\( \Rightarrow \widehat C \approx 91,{79^ \circ } > {90^ \circ }\), tam giác ABC có góc C tù.
b)
+) Áp dụng định lí cosin trong tam giác ACM, ta có:
\(\begin{array}{l}A{M^2} = A{C^2} + C{M^2} - 2.AC.CM.\cos C\\ \Leftrightarrow A{M^2} = {8^2} + {5^2} - 2.8.5.\left( { - \frac{1}{{32}}} \right) = 91,5\\ \Rightarrow AM \approx 9,57\end{array}\)
+) Ta có: \(p = \frac{{8 + 10 + 13}}{2} = 15,5\).
Áp dụng công thức heron, ta có: \(S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt {15,5.(15,5 - 8).(15,5 - 10).(15,5 - 13)} \approx 40\)
+) Áp dụng định lí sin, ta có:
\(\frac{c}{{\sin C}} = 2R \Rightarrow R = \frac{c}{{2\sin C}} = \frac{{13}}{{2.\sin 91,{{79}^ \circ }}} \approx 6,5\)
c)
Ta có: \(\widehat {BCD} = {180^ \circ } - 91,{79^ \circ } = 88,{21^ \circ }\); \(CD = AC = 8\)
Áp dụng định lí cosin trong tam giác BCD, ta có:
\(\begin{array}{l}B{D^2} = C{D^2} + C{B^2} - 2.CD.CB.\cos \widehat {BCD}\\ \Leftrightarrow B{D^2} = {8^2} + {10^2} - 2.8.10.\cos 88,{21^ \circ } \approx 159\\ \Rightarrow BD \approx 12,6\end{array}\)
25 tháng 9 2023
Tham khảo:
Đặt \(AB = c,AC = b,BC = a.\)
Ta có: \(a = 152;\widehat A = {180^o} - ({79^o} + {61^o}) = {40^o}\)
Áp dụng định lí sin, ta có:
\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R\)
Suy ra:
\(\begin{array}{l}AC = b = \frac{{a.\sin B}}{{\sin A}} = \frac{{152.\sin {{79}^o}}}{{\sin {{40}^o}}} \approx 232,13\\AB = c = \frac{{a.\sin C}}{{\sin A}} = \frac{{152.\sin {{61}^o}}}{{\sin {{40}^o}}} \approx 206,82\\R = \frac{a}{{2\sin A}} = \frac{{152}}{{2\sin {{40}^o}}} \approx 118,235\end{array}\)
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
25 tháng 9 2023
a) Áp dụng công thức: \(S = \frac{1}{2}bc\sin A\), ta có:
\(S = \frac{1}{2}.14.35.\sin {60^o} = \frac{1}{2}.14.35.\frac{{\sqrt 3 }}{2} \approx 212,2\)
Áp dụng đl cosin, ta có: \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A\)
\(\begin{array}{l}
\Rightarrow {a^2} = {14^2} + {35^2} - 2.14.35.\cos {60^o} = 931\\
\Rightarrow a \approx 30,5
\end{array}\)
\( \Rightarrow R = \frac{a}{{2\sin A}} = \frac{{30,5}}{{2\sin {{60}^o}}} \approx 17,6\)
b) Ta có: \(p = \frac{1}{2}.(4 + 5 + 3) = 6\)
Áp dụng công thức Heron, ta có:
\(S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt {6(6 - 4)(6 - 5)(6 - 3)} = 6.\)
Lại có: \(S = \frac{{abc}}{{4R}} \Rightarrow R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{4.5.3}}{{4.6}} = 2,5.\)
24 tháng 9 2023
Tham khảo:
Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:
\(\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}} = \dfrac{c}{{\sin C}} = 2R\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sin C = \frac{{c.\sin B}}{b} = \frac{{5.\sin {{80}^o}}}{8} \approx 0,6155\\ \Leftrightarrow \widehat C \approx {38^o}\end{array}\)
Lại có: \(\widehat A = {180^o} - \widehat B - \widehat C = {180^o} - {80^o} - {38^o} = {62^o}\)
Theo định lí sin, ta suy ra \(a = \sin A.\dfrac{b}{{\sin B}} = \sin {62^o}\dfrac{8}{{\sin {{80}^o}}} \approx 7,17\)
Và \(2R = \dfrac{b}{{\sin B}} \Rightarrow R = \dfrac{b}{{2\sin B}} = \dfrac{8}{{2\sin {{80}^o}}} \approx 4,062.\)
Vậy tam giác ABC có \(\widehat A = {62^o}\); \(\widehat C \approx {38^o}\); \(a \approx 7,17\) và \(R \approx 4,062.\)
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
25 tháng 9 2023
a) Tam giác BDC vuông tại C nên \(\sin \widehat {BDC} = \frac{{BC}}{{BD}} = \frac{a}{{2R}}.\)
b)
TH1: Tam giác ABC có góc A nhọn
\(\widehat {BAC} = \widehat {BDC}\) do cùng chắn cung nhỏ BC.
\( \Rightarrow \sin \widehat {BAC} = \sin \widehat {BDC} = \frac{a}{{2R}}.\)
TH2: Tam giác ABC có góc A tù
\(\widehat {BAC} + \widehat {BDC} = {180^o}\) do ABDC là tứ giác nội tiếp (O).
\( \Rightarrow \sin \widehat {BAC} = \sin ({180^o} - \widehat {BAC}) = \sin \widehat {BDC} = \frac{a}{{2R}}.\)
Vậy với góc A nhọn hay tù ta đều có \(2R = \frac{a}{{\sin A}}.\)
b) Nếu tam giác ABC vuông tại A thì BC là đường kính của (O).
Khi đó ta có: \(\sin A = \sin {90^o} = 1\) và \(a = BC = 2R\)
Do đó ta vẫn có công thức: \(2R = \frac{a}{{\sin A}}.\)
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
24 tháng 9 2023
a) Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta có:
\(\begin{array}{l}B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.\cos A\\ \Leftrightarrow B{C^2} = {3^2} + {4^2} - 2.3.4.\cos {120^o}\\ \Leftrightarrow B{C^2} = 37\\ \Leftrightarrow BC \approx 6\end{array}\)
Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}} = 2R\\ \Rightarrow \sin B = \frac{{AC.\sin A}}{{BC}} = \frac{{4.\sin {{120}^o}}}{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\\ \Leftrightarrow \widehat B \approx {35^o}\end{array}\)
b) \(R = \frac{{BC}}{{2.\sin A}} = \frac{6}{{2.\sin {{120}^o}}} = 2\sqrt 3 \)
c) Diện tích tam giác ABC: \(S = \frac{1}{2}4.3.\sin {120^o} = 3\sqrt 3 .\)
d) Gọi H là chân đường cao hạ từ đỉnh A.
Ta có: \(S = \frac{1}{2}AH.BC\)
\( \Rightarrow AH = \frac{{2S}}{{BC}} = \frac{{2.3\sqrt 3 }}{6} = \sqrt 3 \)
e) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 3.4.\cos (\widehat {BAC}) = 12.\cos {120^o} = - 6.\)
Ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM} \) (do M là trung điểm BC)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} )\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} )(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} )\\ = \frac{1}{2}\left( {{{\overrightarrow {AC} }^2} - {{\overrightarrow {AB} }^2}} \right) = \frac{1}{2}\left( {A{C^2} - A{B^2}} \right)\\ = \frac{1}{2}\left( {{4^2} - {3^2}} \right) = \frac{7}{2}.\end{array}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 12 2020
\(A=180-\left(B+C\right)=40^0\)
\(b=\dfrac{a}{sinA}.sinB\approx212.3\left(cm\right)\)
\(c=\dfrac{a}{sinA}.sinC=179,4\left(cm\right)\)
\(R=\dfrac{a}{2sinA}=107\left(cm\right)\)
\(S=\dfrac{abc}{4R}=12235,8\left(cm^2\right)\)
a) Áp dụng định lí cosin, ta có:
\(\begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A\\ \Leftrightarrow {a^2} = {8^2} + {5^2} - 2.8.5.\cos {120^ \circ } = 129\\ \Rightarrow a = \sqrt {129} \end{array}\)
Áp dụng định lí sin, ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} \Rightarrow \frac{{\sqrt {129} }}{{\sin {{120}^ \circ }}} = \frac{8}{{\sin B}} = \frac{5}{{\sin C}}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin B = \frac{{8.\sin {{120}^ \circ }}}{{\sqrt {129} }} \approx 0,61\\\sin C = \frac{{5.\sin {{120}^ \circ }}}{{\sqrt {129} }} \approx 0,38\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat B \approx 37,{59^ \circ }\\\widehat C \approx 22,{41^ \circ }\end{array} \right.\end{array}\)
b) Diện tích tam giác ABC là: \(S = \frac{1}{2}bc.\sin A = \frac{1}{2}.8.5.\sin {120^ \circ } = 10\sqrt 3 \)
c)
+) Theo định lí sin, ta có: \(R = \frac{a}{{2\sin A}} = \frac{{\sqrt {129} }}{{2\sin {{120}^ \circ }}} = \sqrt {43} \)
+) Đường cao AH của tam giác bằng: \(AH = \frac{{2S}}{a} = \frac{{2.10\sqrt 3 }}{{\sqrt {129} }} = \frac{{20\sqrt {43} }}{{43}}\)