Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh:
a) \(\overrightarrow {AP} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AN} \)
b) \(\overrightarrow {BC} + 2\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {BA} \)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
24 tháng 9 2023
Do M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB
\( \Rightarrow MN = \frac{{AB}}{2} = PB\) và MN // PB.
\( \Rightarrow \overrightarrow {PB} = \overrightarrow {NM} \)
Ta có: \(\overrightarrow {PB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {NM} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {NC} \)
Lại có: \(\overrightarrow {NC} = \overrightarrow {AN} \) (do N là trung điểm của AC)
Vậy \(\overrightarrow {PB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AN} \)
H
7 tháng 10 2019
\(\overrightarrow{AN}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2}=\frac{\overrightarrow{AB}}{2}+\frac{\overrightarrow{AC}}{2}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AP}\)
\(\overrightarrow{AN}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2}\)
\(\overrightarrow{BP}=\frac{\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}}{2}\)
\(\overrightarrow{CM}=\frac{\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}}{2}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{CM}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB}}{2}=\overrightarrow{0}\)
MH
28 tháng 9 2023
\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{PC}\\\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{NC}\\\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{MB}\end{matrix}\right.\)
Bạn xem lại nha, có thể đáp án A hoặc B sẽ có \(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{PC}\)
HQ
Hà Quang Minh
Giáo viên
25 tháng 9 2023
a) \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NC} + \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {ND} \\= \left( {\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BM} } \right) + \left( {\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {MN} } \right) + \left( {\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} } \right) \\= \overrightarrow 0 + 2\overrightarrow {MN} + \overrightarrow 0 = 2\overrightarrow {MN} \) (đpcm)
b) \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} \)
\(\)\(\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NC} + \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {ND} \)
\(\left( {\overrightarrow {BM} + \overrightarrow {AM} } \right) + \left( {\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {MN} } \right) + \left( {\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {ND} } \right) = 2\overrightarrow {MN} \)
Mặt khác ta có: \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {MN} \)
Suy ra \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} \)
Cách 2:
\(\begin{array}{l}
\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AD} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BD} \\
\Leftrightarrow \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {DC} (đpcm)
\end{array}\)
13 tháng 7 2018
a) Vì M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB
Nên AM, BN, CP lần lượt là đường trung tuyến của BC, CA, AB.
\(\Rightarrow\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{0}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
13 tháng 7 2018
Lời giải:
a)
\(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AP}\)
\(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BP}\)
\(\Rightarrow 2(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP})=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA})+(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CM})+(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB})+(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AC})+(\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{BP})+(\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{AN})\)
\(=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}\) (do các cặp tổng đều là vecto đối nhau)
\(\Rightarrow \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP}=0\)
(đpcm)
b) Theo phần a:
\(\overrightarrow{AM}=-(\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{CP})=-\overrightarrow{BN}+(-\overrightarrow{CP})\)
\(=\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{PC}\) (đpcm)
a) Ta có: \(\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {PN} \) là hai vecto cùng hướng và \(\frac{1}{2}\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {PN} } \right|\)
\( \Rightarrow \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {PN} \)\( \Rightarrow \overrightarrow {AP} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AP} + \overrightarrow {PN} = \overrightarrow {AN} \)
b) Ta có: \(\overrightarrow {MP} ,\overrightarrow {CA} \) là hai vecto cùng hướng và \(2\left| {\overrightarrow {MP} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} } \right|\)
\( \Rightarrow 2\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {CA} \)\( \Rightarrow \overrightarrow {BC} + 2\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {BA} \)