Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x:P = $sinxcos\left(2x \dfrac{\pi}{6}\right)cos\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right) sin3xsin\left(x \dfrac{\pi}{6}\right)sin\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)$

NM

Nguyễn Minh Ngọc

29 tháng 7 2023

Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
P = $sinxcos\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)cos\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)+sin3xsin\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)sin\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)$

#Toán lớp 11

0

SG

Sách Giáo Khoa

30 tháng 3 2017

Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc x : a) $A=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}+x\right)-\cos\left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)$ b) $B=\cos\left(\dfrac{\pi}{6}-x\right)-\sin\left(\dfrac{\pi}{3}+x\right)$ c) $C=\sin^2x+\cos\left(\dfrac{\pi}{3}-x\right).\cos\left(\dfrac{\pi}{3}+x\right)$ d) \(D=\dfrac{1-\cos2x+\sin2x}{1+\cos2x+\sin2x}.\cot...

Đọc tiếp

#Toán lớp 10

1

KK

Kuro Kazuya

5 tháng 4 2017

a) $A=sin\left(\dfrac{\pi}{4}+x\right)-cos\left(\dfrac{\pi}{4}-x\right)$

$\Leftrightarrow A=sin\dfrac{\pi}{4}.cosx+cos\dfrac{\pi}{4}.sinx-\left(cos\dfrac{\pi}{4}.cosx+sin\dfrac{\pi}{4}.sinx\right)$

$\Leftrightarrow A=sin\dfrac{\pi}{4}.cosx+cos\dfrac{\pi}{4}.sinx-cos\dfrac{\pi}{4}.cosx-sin\dfrac{\pi}{4}.sinx$

$\Leftrightarrow A=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.cosx+\dfrac{\sqrt{2}}{2}.sinx-\dfrac{\sqrt{2}}{2}.cosx-\dfrac{\sqrt{2}}{2}.sinx$

$\Leftrightarrow A=0$

b) $B=cos\left(\dfrac{\pi}{6}-x\right)-sin\left(\dfrac{\pi}{3}+x\right)$

$\Leftrightarrow B=cos\dfrac{\pi}{6}.cosx+sin\dfrac{\pi}{6}.sinx-\left(sin\dfrac{\pi}{3}.cosx+cos\dfrac{\pi}{3}.sinx\right)$

$\Leftrightarrow B=cos\dfrac{\pi}{6}.cosx+sin\dfrac{\pi}{6}.sinx-sin\dfrac{\pi}{3}.cosx-cos\dfrac{\pi}{3}.sinx$

$\Leftrightarrow B=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.cosx+\dfrac{1}{2}.sinx-\dfrac{\sqrt{3}}{2}.cosx-\dfrac{1}{2}.sinx$

$\Leftrightarrow B=0$

c) $C=sin^2x+cos\left(\dfrac{\pi}{3}-x\right).cos\left(\dfrac{\pi}{3}+x\right)$

$\Leftrightarrow C=sin^2x+\left(cos\dfrac{\pi}{3}.cosx+sin\dfrac{\pi}{3}.sinx\right).\left(cos\dfrac{\pi}{3}.cosx-sin\dfrac{\pi}{3}.sinx\right)$

$\Leftrightarrow C=sin^2x+\left(\dfrac{1}{2}.cosx+\dfrac{\sqrt{3}}{2}.sinx\right).\left(\dfrac{1}{2}.cosx-\dfrac{\sqrt{3}}{2}.sinx\right)$

$\Leftrightarrow C=sin^2x+\dfrac{1}{4}.cos^2x-\dfrac{3}{4}.sin^2x$

$\Leftrightarrow C=\dfrac{1}{4}.sin^2x+\dfrac{1}{4}.cos^2x$

$\Leftrightarrow C=\dfrac{1}{4}\left(sin^2x+cos^2x\right)$

$\Leftrightarrow C=\dfrac{1}{4}$

d) $D=\dfrac{1-cos2x+sin2x}{1+cos2x+sin2x}.cotx$

$\Leftrightarrow D=\dfrac{1-\left(1-2sin^2x\right)+2sinx.cosx}{1+2cos^2a-1+2sinx.cosx}.cotx$

$\Leftrightarrow D=\dfrac{2sin^2x+2sinx.cosx}{2cos^2x+2sinx.cosx}.cotx$

$\Leftrightarrow D=\dfrac{2sinx\left(sinx+cosx\right)}{2cosx\left(cosx+sinx\right)}.cotx$

$\Leftrightarrow D=\dfrac{sinx}{cosx}.cotx$

$\Leftrightarrow D=tanx.cotx$

$\Leftrightarrow D=1$

Đúng(0)

P

phamthiminhanh

11 tháng 9 2023

bài 1: a) $sin\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)+sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)=0$

b) $sin\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)-cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=0$

c) $sin\left(2x+\dfrac{\pi}{3}\right)+cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=0$

#Toán lớp 11

2

ND

Nguyễn Đức Trí

VIP

11 tháng 9 2023

a) $sin\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)+sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)=0$

$\Leftrightarrow sin\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)=-sin\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)$

$\Leftrightarrow sin\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)=sin\left(\dfrac{\pi}{3}-x\right)$

$\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3}-x+k\pi\\2x+\dfrac{\pi}{6}=\pi-\dfrac{\pi}{3}+x+k\pi\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi\\x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\pi}{18}+\dfrac{k\pi}{3}\\x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\end{matrix}\right.$

b) $sin\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)-cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=0$

$\Leftrightarrow sin\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)=cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)$

$\Leftrightarrow sin\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)=sin\left(\dfrac{\pi}{6}-x\right)$

$\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{6}-x+k\pi\\2x-\dfrac{\pi}{3}=\pi-\dfrac{\pi}{6}+x+k\pi\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}3x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\\x=\dfrac{7\pi}{6}+k\pi\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{k\pi}{3}\\x=\dfrac{\pi}{6}+\left(k+1\right)\pi\end{matrix}\right.$

Đúng(1)

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

11 tháng 9 2023

c: =>$cos\left(x-\dfrac{pi}{6}\right)=-sin\left(2x+\dfrac{pi}{3}\right)$

=>$cos\left(x-\dfrac{pi}{6}\right)=sin\left(-2x-\dfrac{pi}{3}\right)$

=>$sin\left(-2x-\dfrac{pi}{3}\right)=sin\left(\dfrac{pi}{2}-x+\dfrac{pi}{6}\right)$

=>$sin\left(-2x-\dfrac{pi}{3}\right)=sin\left(-x+\dfrac{2}{3}pi\right)$

=>$\left[{}\begin{matrix}-2x-\dfrac{pi}{3}=-x+\dfrac{2}{3}pi+k2pi\\-2x-\dfrac{pi}{3}=pi+x-\dfrac{2}{3}pi+k2pi\end{matrix}\right.$
=>$\left[{}\begin{matrix}-x=pi+k2pi\\-3x=\dfrac{2}{3}pi+k2pi\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-pi-k2pi\\x=-\dfrac{2}{9}pi-\dfrac{k2pi}{3}\end{matrix}\right.$

Đúng(1)

TY

Thiên Yết

5 tháng 7 2021

Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào...

Đọc tiếp

#Toán lớp 10

1

LT

Lê Thị Thục Hiền

5 tháng 7 2021

1,$A=3\left(sin^4x+cos^4x\right)-2\left(sin^2x+cos^2x\right)\left(sin^4x-sin^2x.cos^2x+cos^4x\right)$

$=3\left(sin^4x+cos^4x\right)-2\left(sin^4x-sin^2x.cos^4x+cos^4x\right)$

$=sin^4x+2sin^2x.cos^2x+cos^4x=\left(sin^2x+cos^2x\right)^2=1$

Vậy...

2,$B=cos^6x+2sin^4x\left(1-sin^2x\right)+3\left(1-cos^2x\right)cos^4x+sin^4x$

$=-2cos^6x+3sin^4x-2sin^6x+3cos^4x$

$=-2\left(sin^2x+cos^2x\right)\left(sin^4x-sin^2x.cos^2x+cos^4x\right)+3\left(cos^4x+sin^4x\right)$

$=-2\left(sin^4x-sin^2x.cos^2x+cos^4x\right)+3\left(cos^4x+sin^4x\right)$$=cos^4x+sin^4x+2sin^2x.cos^2x=1$

Vậy...

3,$C=\dfrac{1}{2}\left[cos\left(-\dfrac{7\pi}{12}\right)+cos\left(2x-\dfrac{\pi}{12}\right)\right]+\dfrac{1}{2}\left[cos\left(-\dfrac{7\pi}{12}\right)+cos\left(2x+\dfrac{11\pi}{12}\right)\right]$

$=cos\left(-\dfrac{7\pi}{12}\right)+\dfrac{1}{2}\left[cos\left(2x-\dfrac{\pi}{12}\right)+cos\left(2x+\dfrac{11\pi}{12}\right)\right]$$=\dfrac{-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}+\dfrac{1}{2}\left[cos\left(2x-\dfrac{\pi}{12}\right)+cos\left(2x-\dfrac{\pi}{12}+\pi\right)\right]$

$=\dfrac{-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}+\dfrac{1}{2}\left[cos\left(2x-\dfrac{\pi}{12}\right)-cos\left(2x-\dfrac{\pi}{12}\right)\right]$$=\dfrac{-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

Vậy...

4, $D=cos^2x+\left(-\dfrac{1}{2}cosx-\dfrac{\sqrt{3}}{2}sinx\right)^2+\left(-\dfrac{1}{2}.cosx+\dfrac{\sqrt{3}}{2}.sinx\right)^2$

$=cos^2x+\dfrac{1}{4}cos^2x+\dfrac{\sqrt{3}}{4}cosx.sinx+\dfrac{3}{4}sin^2x+\dfrac{1}{4}cos^2x-\dfrac{\sqrt{3}}{4}cosx.sinx+\dfrac{3}{4}sin^2x$

$=\dfrac{3}{2}\left(cos^2x+sin^2x\right)=\dfrac{3}{2}$

Vậy...

5, Xem lại đề

6,$F=-cosx+cosx-tan\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right).cot\left(\pi+\dfrac{\pi}{2}-x\right)$

$=tan\left(\pi-\dfrac{\pi}{2}-x\right).cot\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$$=tan\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right).cot\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$$=cotx.tanx=1$

Vậy...

Đúng(1)

NM

Nguyễn Minh Ngọc

29 tháng 7 2023

Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
Q = $sinx-sin\left(x+\dfrac{\pi}{5}\right)+sin\left(x+\dfrac{2\pi}{5}\right)-sin\left(x+\dfrac{3\pi}{5}\right)+sin\left(x+\dfrac{4\pi}{5}\right)$

#Toán lớp 11

0

SG

Sách Giáo Khoa

4 tháng 4 2017

Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc vào x :

a) $y=\sin^6x+\cos^6x+3\sin^2x.\cos^2x$

b) $y=\cos^2\left(\dfrac{\pi}{3}-x\right)+\cos^2\left(\dfrac{\pi}{3}+x\right)+\cos^2\left(\dfrac{2\pi}{3x}-x\right)+\cos^2\left(\dfrac{2\pi}{3x}+x\right)-2\sin^2x$

#Toán lớp 11

1

HA

Hà An

4 tháng 4 2017

a) Cách 1: Ta có:

y' = 6sin⁵x.cosx - 6cos⁵x.sinx + 6sinx.cos³x - 6sin³x.cosx = 6sin³x.cosx(sin²x - 1) + 6sinx.cos³x(1 - cos²x) = - 6sin³x.cos³x + 6sin³x.cos³x = 0.

Vậy y' = 0 với mọi x, tức là y' không phụ thuộc vào x.

Cách 2:

y = sin⁶x + cos⁶x + 3sin²x.cos²x(sin²x + cos²x) = sin⁶x + 3sin⁴x.cos²x + 3sin²x.cos⁴x + cos⁶x = (sin²x + cos²x)³ = 1

Do đó, y' = 0.

b) Cách 1:

Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm số hợp

(cos²u)' = 2cosu(-sinu).u' = -u'.sin2u

Ta được

y' =[sin $\left ( \frac{2\pi }{3}-2x \right )$ - sin $\left ( \frac{2\pi }{3}+2x \right )$ ] + [sin $\left ( \frac{4\pi }{3}-2x \right )$ - sin $\left ( \frac{4\pi }{3}+2x \right )$ ] - 2sin2x = 2cos $\frac{2\pi }{3}$ .sin(-2x) + 2cos $\frac{4\pi }{3}$ .sin(-2x) - 2sin2x = sin2x + sin2x - 2sin2x = 0,

vì cos $\frac{2\pi }{3}$ = cos $\frac{4\pi }{3}$ = $-\frac{1}{2}$ .

Vậy y' = 0 với mọi x, do đó y' không phụ thuộc vào x.

Cách 2: vì côsin của hai cung bù nhau thì đối nhau cho nên

cos² $\left ( \frac{\pi }{3}-x \right )$ = cos² $\left ( \frac{2\pi }{3}-x \right )$ '

cos² $\left ( \frac{\pi }{3}+x \right )$ = cos² $\left ( \frac{2\pi }{3}+x \right )$ .

Do đó

y = 2 cos² $\left ( \frac{\pi }{3}-x \right )$ + 2cos² $\left ( \frac{\pi }{3}+x \right )$ - 2sin²x = 1 +cos $\left ( \frac{2\pi }{3}-2x \right )$ + 1 +cos $\left ( \frac{2\pi }{3}+2x \right )$ - (1 - cos2x) = 1 +cos $\left ( \frac{2\pi }{3}-2x \right )$ + cos $\left ( \frac{2\pi }{3}+2x \right )$ + cos2x = 1 + 2cos $\frac{2\pi }{3}$ .cos(-2x) + cos2x = 1 + 2 $\left ( \frac{-1}{2} \right )$ cos2x + cos2x = 1.

Do đó y' = 0.

Đúng(0)

PT

Phạm Trần Phát

5 tháng 9 2023

Giải phương trình:

1) $cos\left(2x + \dfrac{\pi}{6}\right) = cos\left(\dfrac{\pi}{3} - 3x\right)$

2) $sin\left(2x + \dfrac{\pi}{6}\right) = sin\left(\dfrac{\pi}{3} - 3x\right)$

#Toán lớp 11

2

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

5 tháng 9 2023

1: cos(2x+pi/6)=cos(pi/3-3x)

=>2x+pi/6=pi/3-3x+k2pi hoặc 2x+pi/6=3x-pi/3+k2pi

=>5x=pi/6+k2pi hoặc -x=-1/2pi+k2pi

=>x=pi/30+k2pi/5 hoặc x=pi-k2pi

2: sin(2x+pi/6)=sin(pi/3-3x)

=>2x+pi/6=pi/3-3x+k2pi hoặc 2x+pi/6=pi-pi/3+3x+k2pi

=>5x=pi/6+k2pi hoặc -x=2/3pi-pi/6+k2pi

=>x=pi/30+k2pi/5 hoặc x=-1/2pi-k2pi

Đúng(1)

ND

Nguyễn Đức Trí

VIP

6 tháng 9 2023

1) $cos\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)=cos\left(\dfrac{\pi}{3}-2x\right)$

$\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3}-3x+k2\pi\\2x+\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{\pi}{3}+3x+k2\pi\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}5x=\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\\3x-2x=\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\pi}{6}-k2\pi\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}5x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\\x=\dfrac{\pi}{2}-k2\pi\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\pi}{30}+\dfrac{k2\pi}{5}\\x=\dfrac{\pi}{2}-k2\pi\end{matrix}\right.$ $\left(k\in N\right)$

Đúng(1)

SG

Sách Giáo Khoa

11 tháng 4 2017

Chứng minh rằng $f'\left(x\right)=0;\forall x\in R$ nếu...

Đọc tiếp

#Toán lớp 11

1

TL

Trịnh Long

1 tháng 12 2019

Chứng minh các biểu thức đã cho không phụ thuộc vào x.

Từ đó suy ra f'(x)=0

a) $f(x)=1\Rightarrowf'(x)=0f(x)=1\Rightarrowf'(x)=0$ ;

b) $f(x)=1\Rightarrowf'(x)=0f(x)=1\Rightarrowf'(x)=0$ ;

c) $f(x)=$\frac{1}{4}$$ ($\sqrt{2}$-$\sqrt{6}$)=>f'(x)=0

d,f(x)=$\frac{3}{2}$=>f'(x)=0

Đúng(0)

T

títtt

18 tháng 8 2023

chứng minh đẳng thức lượng giáca) $\dfrac{1-cos^2\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)}{1-sin^2\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)}$ - cot$\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)$ ....

Đọc tiếp

#Toán lớp 11

1

M

meme

19 tháng 8 2023

Để chứng minh các định lượng đẳng cấp, ta sẽ sử dụng các công thức định lượng giác cơ bản và các quy tắc biến đổi đẳng thức. a) Bắt đầu với phương trình ban đầu: 1 - cos^2(π/2 - x) / (1 - sin^2(π/2 - x)) = -cot(π/2 - x) * tan( π/2 - x) Ta biết rằng: cos^2(π/2 - x) = sin^2(x) (công thức lượng giác) sin^2(π/2 - x) = cos^2(x) (công thức lượng giác) Thay vào phương trình ban đầu, ta có: 1 - sin^2(x) / (1 - cos^2(x)) = -cot(π/2 - x) * tan(π/ 2 - x) Tiếp theo, ta sẽ tính toán một số lượng giác: cot(π/2 - x) = cos(π/2 - x) / sin(π/2 - x) = sin(x) / cos(x) = tan(x) (công thức lượng giác) tan(π/2 - x) = sin(π/2 - x) / cos(π/2 - x) = cos(x) / sin(x) = 1 / tan(x) (công thức lượng giác) Thay vào phương trình, ta có: 1 - sin^2(x) / (1 - cos^2(x)) = -tan(x) * (1/tan(x)) = -1 Vì vậy, ta đã chứng minh là đúng. b) Bắt đầu với phương thức ban đầu: (1/cos^2(x) + 1) * tan(x) = tan^2(x) Tiếp tục chuyển đổi phép tính: 1/cos^2(x) + 1 = tan^2(x) / tan(x) = tan(x) Tiếp theo, ta sẽ tính toán một số giá trị lượng giác: 1/cos^2(x) = sec^2(x) (công thức) lượng giác) sec^2(x) + 1 = tan^2(x) + 1 = sin^2(x)/cos^2(x) + 1 = (sin^2(x) + cos^2(x) ))/cos^2(x) = 1/cos^2(x) Thay thế vào phương trình ban đầu, ta có: 1/cos^2(x) + 1 = 1/cos^2(x) Do đó, ta đã chứng minh được b)đúng.

Đúng(0)

P

phamthiminhanh

17 tháng 9 2023

bài 1:

a) $cos\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)+cos\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=0$

b) $cos\left(2x+30^o\right)+sin\left(x-30^o\right)=0$

#Toán lớp 11

1

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

21 tháng 10 2023

a: $cos\left(2x-\dfrac{\Omega}{6}\right)+cos\left(x+\dfrac{\Omega}{3}\right)=0$

=>$cos\left(2x-\dfrac{\Omega}{6}\right)+sin\left(\dfrac{\Omega}{6}-x\right)=0$

=>$cos\left(2x-\dfrac{\Omega}{6}\right)=-sin\left(\dfrac{\Omega}{6}-x\right)=sin\left(x-\dfrac{\Omega}{6}\right)$

=>$cos\left(2x-\dfrac{\Omega}{6}\right)=cos\left(\dfrac{\Omega}{2}-x+\dfrac{\Omega}{6}\right)$

=>$cos\left(2x-\dfrac{\Omega}{6}\right)=cos\left(-x+\dfrac{2}{3}\Omega\right)$

=>$\left[{}\begin{matrix}2x-\dfrac{\Omega}{6}=-x+\dfrac{2\Omega}{3}+k2\Omega\\2x-\dfrac{\Omega}{6}=x-\dfrac{2}{3}\Omega+k2\Omega\end{matrix}\right.$

=>$\left[{}\begin{matrix}3x=\dfrac{5}{6}\Omega+k2\Omega\\x=-\dfrac{1}{2}\Omega+k2\Omega\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{5}{18}\Omega+\dfrac{k2\Omega}{3}\\x=-\dfrac{1}{2}\Omega+k2\Omega\end{matrix}\right.$

b: $cos\left(2x+30^0\right)+sin\left(x-30^0\right)=0$

=>$cos\left(2x+30^0\right)=-sin\left(x-30^0\right)$

=>$cos\left(2x+30^0\right)=sin\left(-x+30^0\right)$

=>$cos\left(2x+30^0\right)=cos\left(60^0+x\right)$

=>$\left[{}\begin{matrix}2x+30^0=x+60^0+k\cdot360^0\\2x+30^0=-x-60^0+k\cdot360^0\end{matrix}\right.$

=>$\left[{}\begin{matrix}x=30^0+k\cdot360^0\\3x=-90^0+k\cdot360^0\end{matrix}\right.$

=>$\left[{}\begin{matrix}x=30^0+k\cdot360^0\\x=-30^0+k\cdot120^0\end{matrix}\right.$

Đúng(1)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP