Cho a,b >0 và a+b+c = 1
Tìm GTLN của S=\(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TD
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
28 tháng 1 2022
\(\left\{{}\begin{matrix}a;b;c\ge0\\a+b+c=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow0\le a;b;c\le1\)
\(\Rightarrow a\left(a-1\right)\le0\Rightarrow a^2\le a\)
\(\Rightarrow\sqrt{2a^2+3a+4}=\sqrt{a^2+a^2+3a+4}\le\sqrt{a^2+a+3a+4}=a+2\)
Tương tự và cộng lại:
\(\Rightarrow M\le a+2+b+2+c+2=7\)
\(M_{max}=7\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right)\) và các hoán vị
8 tháng 1 2022
\(\sqrt{\dfrac{ab}{c+ab}}=\sqrt{\dfrac{ab}{1-a-b-ab}}=\sqrt{\dfrac{ab}{\left(1-b\right)\left(1-a\right)}}\le\dfrac{\dfrac{a}{1-b}+\dfrac{b}{1-a}}{2}\left(1\right)\) \(tương-tự\Rightarrow\sqrt{\dfrac{bc}{a+bc}}\le\dfrac{\dfrac{b}{1-c}+\dfrac{c}{1-b}}{2}\left(2\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{ca}{b+ ca}}\le\dfrac{\dfrac{c}{1-a}+\dfrac{a}{1-c}}{2}\left(3\right)\)
\( \left(1\right)\left(2\right)\left(3\right)\Rightarrow A\le\dfrac{\dfrac{a}{1-b}+\dfrac{b}{1-a}+\dfrac{b}{1-c}+\dfrac{c}{1-b}+\dfrac{c}{1-a}+\dfrac{a}{1-c}}{2}=\dfrac{\dfrac{a+c}{1-b}+\dfrac{b+c}{1-a}+\dfrac{b+a}{1-c}}{2}=\dfrac{\dfrac{1-b}{1-b}+\dfrac{1-a}{1-a}+\dfrac{1-c}{1-c}}{2}=\dfrac{3}{2}\)
\(\Rightarrow A_{max}=\dfrac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 4 2022
Với mọi số thực dương x;y;z ta có:
\(\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2\ge2xy+2yz+2zx\)
\(\Leftrightarrow3x^2+3y^2+3z^2\ge x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\)
\(\Leftrightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x+y+z\le\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)
Áp dụng:
a.
\(\sqrt{a+2}+\sqrt{b+2}+\sqrt{c+2}\le\sqrt{3\left(a+2+b+2+c+2\right)}=\sqrt{3\left(21+6\right)}=9\)
b.
\(\sqrt{a+b+2}+\sqrt{b+c+2}+\sqrt{c+a+2}\le\sqrt{3\left(a+b+2+b+c+2+c+a+2\right)}\)
\(\Rightarrow\sqrt{a+b+2}+\sqrt{b+c+2}+\sqrt{c+a+2}\le\sqrt{6\left(a+b+c\right)+18}=\sqrt{6.21+18}=12\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=7\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 2 2017
Bài của bạn @Nguyễn Nhật Minh vì áp dụng AM-GM sai nên sai rồi nhé.
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(S^2=(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a})^2\leq (a+b+b+c+c+a)(1+1+1)\)
\(\Leftrightarrow S^2\leq 6(a+b+c)=6\Rightarrow S\leq \sqrt{6}\)
Vậy \(S_{\max}=\sqrt{6}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)
KK
1 tháng 2 2017
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 bộ số thực không âm
\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\sqrt{a+b}\le\frac{a+b}{2}\\\sqrt{b+c}\le\frac{b+c}{2}\\\sqrt{a+c}\le\frac{c+a}{2}\end{matrix}\right.\)
Cộng theo từng vế:
\(\Rightarrow\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\le\frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}\)
\(\Rightarrow\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\le\frac{2\left(a+b+c\right)}{2}\)
Ta có : \(a+b+c=1\)
\(\Rightarrow\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\le1\)
Vậy GTLN của \(S=1\)
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{1}{18}\)
PT
3
16 tháng 1 2016
\(F^2=\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{a+c}+\sqrt{b+c}\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(a+b+a+c+b+c\right)=6\left(a+b+c\right)=6\)
=> F max = \(\sqrt{6}\) <=> a=b=c =1
24 tháng 11 2021
\(1,\text{Áp dụng Mincopxki: }\\ Q\ge\sqrt{\left(a+\dfrac{1}{a}\right)^2+\left(b+\dfrac{1}{b}\right)^2}\ge\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\\ \text{Dấu }"="\Leftrightarrow a=b\)
24 tháng 11 2021
\(2,\text{Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz: }\\ P\ge\dfrac{9}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}=\dfrac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge\dfrac{9}{1}=9\\ \text{Dấu }"="\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
DF
2
3 tháng 1 2021
Áp dụng BĐT cosi, ta có
\(\sqrt{3a+1}=\dfrac{1}{2}\sqrt{4\left(3a+1\right)}\le\dfrac{1}{2}.\dfrac{4+3a+1}{2}=\dfrac{3a+5}{4}\)
CMTT, ta có \(\sqrt{3b+1}\le\dfrac{3b+5}{4};\sqrt{3c+1}\le\dfrac{3c+5}{4}\)
Từ đó suy ra \(K\le\dfrac{3\left(a+b+c\right)+15}{4}=6\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
Vậy...
3 tháng 1 2021
ta có BĐT \(\sqrt{3a+1}\ge\dfrac{a\left(\sqrt{10}-1\right)}{3}+1\)
\(\Leftrightarrow a\left(3-a\right)\ge0đúng\forall a\)
CMRTT, ta có
\(\sqrt{3b+1}\ge\dfrac{b\left(\sqrt{10}-1\right)}{3}+1\)
\(\sqrt{3c+1}\ge\dfrac{c\left(\sqrt{10}-1\right)}{3}+1\)
Do đó \(K\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)\left(\sqrt{10}-1\right)}{3}+3=\sqrt{10}+2\)
Dấu "=" xảy ra khi a=3, b=c=0
Vậy...
Đơn giản là Cauchy-Schwarz
\(S^2=\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)^2\)
\(\le\left(\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right)\left(1+1+1\right)\)
\(=3\cdot\left(2a+2b+2c\right)=6\left(a+b+c\right)=1\)
\(\Rightarrow S^2\le6\Rightarrow S\le\sqrt{6}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
ta dự đoán điểm khi : \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow\sqrt{a+b}=\sqrt{b+c}=\sqrt{a+c}=\sqrt{\frac{2}{3}}\)
Khi đó ta có :
\(\sqrt{\frac{2}{3}}.\sqrt{a+b}\le\frac{\frac{2}{3}+a+b}{2}\)
\(\sqrt{\frac{2}{3}}.\sqrt{b+c}\le\frac{\frac{2}{3}+b+c}{2}\)
\(\sqrt{\frac{2}{3}}.\sqrt{c+a}\le\frac{\frac{2}{3}+a+c}{2}\)
cộng từng vế 3 bất phương trình ta có
\(\sqrt{\frac{2}{3}}.S\le\frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}+2\left(a+b+c\right)\right)=2\) \(\Leftrightarrow S\le2.\sqrt{\frac{3}{2}}=\sqrt{6}\)
Vậy \(S_{max}=\sqrt{6}\)dấu "=" khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)