Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b ta có :a^2/b+b^2/a lớn hơn hoặc bằng a+b.
Giúp mình với .
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NH
0
M
2
25 tháng 8 2021
Điều cần chứng minh:
|a|+|b|≥|a+b||a|+|b|≥|a+b|
|a+b|=|a+b||a+b|=|a+b|
Khi này ,a và b có thể nhận với giá trị âm hoặc dương hoặc bằng 0
|a|>=0. và |b|>=0
Nên chúng chỉ có nhận giá trị lớn hơn or bằng 0
⇒|a|+|b|≥|a+b|→đpcm
25 tháng 8 2021
\(\left\{{}\begin{matrix}\left|a\right|>=0\\\left|b\right|>=0\end{matrix}\right.\)
C6. Cho các số thực dương thoả mãn: ab+1 nhỏ hơn hoặc bằng b Chứng minh rằng : ( a + (1/a^2) ) + ( b^2 + (1/b) ) lớn hơn hoặc bằng 9
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
20 tháng 3 2022
\(ab+1\le b\Rightarrow a+\dfrac{1}{b}\le1\)
Đặt \(\left(a;\dfrac{1}{b}\right)=\left(x;y\right)\Rightarrow x+y\le1\)
Gọi vế trái của BĐT cần chứng minh là P:
\(P=x+\dfrac{1}{x^2}+y+\dfrac{1}{y^2}=\left(\dfrac{1}{x^2}+8x+8x\right)+\left(\dfrac{1}{y^2}+8y+8y\right)-15\left(x+y\right)\)
\(P\ge3\sqrt[3]{\dfrac{64x^2}{x^2}}+3\sqrt[3]{\dfrac{64y^2}{y^2}}-15.1=9\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}\right)\) hay \(\left(a;b\right)=\left(\dfrac{1}{2};2\right)\)
NK
1
1 tháng 5 2017
Ta co \(a^4+b^4+2\ge2a^2b^2+2\)\(=2\left(a^2b^2+1\right)\ge2\cdot2ab\)\(=4ab\)
Dau "=" xay ra khi va chi khi a=b
K
1
1 tháng 5 2022
\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
-Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
NT
0
Z
2
30 tháng 3 2020
Ta có : \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\)
\(=\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{ab}-\frac{2ab}{ab}\)
\(=\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}\)
\(=\frac{a^2-ab-ab+b^2}{ab}\)
\(=\frac{\left(a^2-ab\right)-\left(ab-b^2\right)}{ab}\)
\(=\frac{a\left(a-b\right)-b\left(a-b\right)}{ab}\)
\(=\frac{\left(a-b\right)\left(a-b\right)}{ab}\)
\(=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\) với mọi \(a;b\inℕ^∗\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\ge0\) với mọi \(a;b\inℕ^∗\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\) với mọi \(a;b\inℕ^∗\)
31 tháng 3 2020
Ta có\(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\)
\(=\frac{a^2}{ab}+\frac{b^2}{ab}-\frac{2ab}{ab}\)
\(=\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}\)
\(=\frac{\left(a^2-ab\right)-\left(ab-b^2\right)}{ab}\)
\(=\frac{a\left(a-b\right)-b\left(a-b\right)}{ab}\)
\(=\frac{\left(a-b\right)\left(a-b\right)}{ab}\)
\(=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\text{ với mọi a;b \inℕ^∗}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\ge0\text{ với mọi a;b\inℕ^∗}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\text{ với mọi a;b \inℕ^∗}\)
Học tốt
KS
1
30 tháng 3 2020
Ta có:Xét hiệu \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2=\frac{a^2-2ab+b^2}{ab}=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\)(Vì\(a,b\inℕ^∗\))
\(\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)(Đấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b)(đpcm)
a^2/b+b^2/a>=a+b
=>a^3+b^3>=ab(a+b)
=>a^3+b^3-a^2b-ab^2>=0
=>a^2(a-b)+b^2(b-a)>=0
=>(a-b)^2(a+b)>=0(luôn đúng)