Tìm giá trị lớn nhất của M=xy+yz+zx
Với x,y,z là số thực thỏa mãn : x+y+z=3
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
28 tháng 9 2021
Tham khảo:
Cho 3 số thức x,y,z thỏa mãn \(x\ge1;y\ge4;z\ge9\) tìm giá trị lớn nhất của biết thức Q=\(\dfrac{yz\sqrt{x-1}+zx\sqrt... - Hoc24
T
29 tháng 9 2019
Theo em bài này chỉ có min thôi nhé!
Rất tự nhiên để khử căn thức thì ta đặt \(\left(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\right)=\left(a;b;c\right)\ge0\)
Khi đó \(M=\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\) với abc = \(\sqrt{xyz}=1\) và a,b,c > 0
Dễ thấy \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}=\frac{b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{a^3}{c^2+ca+a^2}\)
(chuyển vế qua dùng hằng đẳng thức là xong liền hà)
Do đó \(2M=\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3+c^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3+a^3}{c^2+ca+a^2}\)
Đến đây thì chứng minh \(\frac{a^3+b^3}{a^2+ab+b^2}\ge\frac{1}{3}\left(a+b\right)\Leftrightarrow\frac{2}{3}\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)(đúng)
Áp dụng vào ta thu được: \(2M\ge\frac{2}{3}\left(a+b+c\right)\Rightarrow M\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\ge\sqrt[3]{abc}=1\)
Vậy...
P/s: Ko chắc nha!
KB
3
FF
29 tháng 8 2016
với mọi x, y, z ta có:
(x-y)^2 +(y-z)^2+ (z-x)^2>=0
<=>2x^2 +2y^2 + 2z^2 - 2xy -2yz - 2xz >=0
<=>x^2 + y^2 +z^2 - xy -yz -zx >=0
<=>(x+y+z)^2 >= 3(x+y+z)
<=>[(x+y+z)^2]/3 >= xy+yz+ zx
=>xy +yz + zx <=3
dấu = xảy ra khi x=y=z =1
9 tháng 7 2017
ai tích mình tích lại nhưng phải lên điểm mình tích gấp đôi
1 tháng 4 2019
*Max
Có: \(x^2+4\ge4x\)
\(y^2+4\ge4y\)
\(z^2+4\ge4z\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+12\ge4\left(x+y+z\right)\)\(\Rightarrow x+y+z\le\frac{x^2+y^2+z^2+12}{4}\)
Lại có \(xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\)(Auto chứng minh)
Cộng 2 vế của bdtd lại ta đc \(x+y+z+xy+yz+zx\le\frac{5\left(x^2+y^2+z^2\right)+12}{4}\)
\(=\frac{5.12+12}{4}=18\)
"=" KHI x = y= z = 2
*Min : ta có : \(12+2\left(xy+yz+zx\right)\ge x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow xy+yz+zx\ge-6\)
Dấu "=" xảy ra <=> x + y + z = 0
Với các giá trị trên ta đc \(x+y+z+xy+yz+zx\ge0-6=-6\)
Dấu "=" <=> x + y + z = 0 và x2 + y2 + z2 = 12
2 tháng 4 2019
bạn ơi mình giải thế này thì sao nhỉ:
đặt x+y+z=a=> \(a^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\)
=> \(xy+yz+zx=\frac{a^2-\left(x^2+y^2+z^2\right)}{2}\ge\frac{a^2-12}{2}\)
\(\Rightarrow P\ge a+\frac{a^2-12}{2}\ge-\frac{13}{2}\)( dùng hằng đẳng thức c/m)
dấu " =" <=> \(\hept{\begin{cases}x+y+z=-1\\x^2+y^2+z^2=12\end{cases}}\)
bạn xem thử hộ mik cái =)
LN
8
16 tháng 4 2016
bạn ấy ko biết thì bạn ấy hỏi sao câu lại chửi cậu ấy là ngu
LT
11
TM
23 tháng 4 2017
Ta có: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
<=>\(x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\ge3\left(xy+yz+zx\right)\)<=>\(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\)
<=>\(3^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\)<=>\(P=xy+yz+zx\le3\)=>Pmax=3 <=> x=y=z=1
25 tháng 5 2018
Ta có BĐT đúng sau:
x2 + y2 + z2 >= xy + yz + zx
<=> (x + y + z)2 >= 3(xy + yz + zx)
<=> 9 >= 3 P <=> P <=3 (dấu bằng khi x = y = z =1)
Cauchy-Schwarz : \(\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(y^2+z^2+x^2\right)\ge\left(xy+yz+zx\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge\left|xy+yz+zx\right|\ge xy+yz+zx\)(1)
Mặt khác :
\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=9-2\left(xy+yz+zx\right)\)
Kết hợp (1)
=> \(9-2\left(xy+yz+xz\right)\ge xy+yz+zx\)
\(\Leftrightarrow3\left(xy+yz+zx\right)\le9\)
\(\Leftrightarrow xy+yz+zx\le3\)
Dấu " = " xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{x}\\x+y+z=3\end{cases}}\)<=> x=y=z=1
Vậy MaxM=3 khi x=y=z=1