Question

[pham trung thanh]

Gọi a;b;c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh rằng:

         \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)< 2

Answer 1

[DanAlex]

Vì a,b,c là 3 cạnh của một tam giác nên ta có:

a>0 \(\Rightarrow\)a<b+c \(\Rightarrow\)a+a<a+b+c\(\Rightarrow\)2a<a+b+c (1)

b>0 \(\Rightarrow\)b<c+a \(\Rightarrow\)b+b<a+b+c\(\Rightarrow\)2b<a+b+c (2)

c>0 \(\Rightarrow\)c<a+b \(\Rightarrow\)c+c<a+b+c\(\Rightarrow\)2c<a+b+c (3)

Từ (1);(2);(3) \(\Rightarrow\)\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}\)

\(=\frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< 2\)

Answer 2

[Dương Trọng Hòa]

\(\frac{a}{b+c}\)+\(\frac{b}{c+a}\)\(\frac{c}{a+b}\)

=\(\frac{a}{b}\)+\(\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\)

=\(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\)

Vì hai p/s nghịch đảo luôn lớn hơn hoặc bằng 2(lên lớp 8 sẽ có công thức)

nên nó phải luôn lớn hơn hoặc bằng 2