Question

[Lê Thị Như Quỳnh]

1/ Rút gọn biểu thức:

A = 8.( 3² +1 ).(3⁴+1).(3⁸+1).(3¹⁶+1).(3³² +1)

2/ chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) ( x - 1).( x - 2).( x - 3).( x - 4) lớn hơn hoặc bằng -1

b) Với a, b > 0 và a + 1 = 1 thì

( 1+ ​1/a).(1 + 1/b) lớn hơn hoặc bằng 9

c) Cho a + b > 1

CMR: a⁴ + b⁴ > \(\frac{1}{8}\)

3/ vs mọi giá trị của biến x các đa thức sau đây nhận giá trị dương

a) x^{2 -} 6x + 10

b) x² + x + 1

c) ( x - 3)(x - 5) + 4

4/ Cmr: V x   \(\ge\) 0; y   \(\ge\)0 thì \(\left(\frac{x+y}{x}\right)^2\ge xy\)

5/ Cmr:\(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}< 1vớin\in N,n>1\)

Answer 1

[Thiên An]

c) Ta có a + b > 1 > 0 (1)

Bình phương 2 vế: \(\left(a+b\right)^2>1\) \(\Leftrightarrow\) \(a^2+2ab+b^2>1\) (2)

Mặt khác \(\left(a-b\right)^2\ge0\) \(\Rightarrow\) \(a^2-2ab+b^2\ge0\) (3)

Cộng từng vế của (2) và (3): \(2\left(a^2+b^2\right)>1\) \(\Rightarrow\) \(a^2+b^2>\frac{1}{2}\) (4)

Bình phương 2 vế của (4):  \(a^4+2a^2b^2+b^4>\frac{1}{4}\) (5)

Mặt khác  \(\left(a^2-b^2\right)^2\ge0\) \(\Rightarrow\) \(a^4-2a^2b^2+b^4\ge0\) (6)

Cộng từng vế của (5) và (6):  \(2\left(a^4+b^4\right)>\frac{1}{4}\) \(\Rightarrow\) \(a^4+b^4>\frac{1}{8}\) (đpcm).

Answer 2

[Thiên An]

1/ Áp dụng hẳng đẳng thức \(\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2\) là ra bạn nhé

\(A=\left[\left(3^2-1\right)\left(3^2+1\right)\right]\left(3^4+1\right)\left(3^8+1\right)\left(3^{16}+1\right)\left(3^{32}+1\right)\)

\(=\left[\left(3^4-1\right)\left(3^4+1\right)\right]\left(3^8+1\right)\left(3^{16}+1\right)\left(3^{32}+1\right)\)

\(=\left[\left(3^8-1\right)\left(3^8+1\right)\right]\left(3^{16}+1\right)\left(3^{32}+1\right)\)

\(=\left[\left(3^{16}-1\right)\left(3^{16}+1\right)\right]\left(3^{32}+1\right)\)

\(=\left(3^{32}-1\right)\left(3^{32}+1\right)\)

\(=3^{64}-1\)