Đây sẽ là câu hỏi khó nhất trong năm
Cho Tam giác ABC và điểm P nằm trong tam giác, chứng minh rằng :
\(\frac{AB+BC+CA}{2}\) < PA + PB + PC < AB + BC +CA
5 người trả lời được câu hỏi này đầu tiên sẽ được mk tick.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
13 tháng 2 2019
Có : \(\frac{BC}{PA'}+\frac{CA}{PB'}+\frac{AB}{PC'}=\frac{BC^2}{PA'.BC}+\frac{CA^2}{PB'.CA}+\frac{AB^2}{PC'.AB}\)
\(=\frac{BC^2}{2S_{BPC}}+\frac{CA^2}{2S_{CPA}}+\frac{AB^2}{2S_{ABP}}\)
Áp dụng bđt \(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{x+y+z}\)được
\(\frac{BC}{PA'}+\frac{CA}{PB'}+\frac{AB}{PC'}\ge\frac{\left(AB+BC+CA\right)^2}{2S_{ABC}}=\frac{P_{ABC}^2}{2S_{ABC}}=const\:\)
Dấu "=" khi 3 cái phân số chứa mẫu là S kia bằng nhau <=> PA' = PB' = PC'
<=> P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
14 tháng 8 2021
Đây là định lí ceva, bạn có thể tham khảo thêm các cách chứng minh khác trên mạng nếu cần.
8 tháng 7 2021
Gọi R,S lần lượt là điểm đối xứng với C,B qua N,P. Lấy Q' là trung điểm của RS.
Ta có: \(AR=CA-CR=CA-2.\frac{CA+CP-AP}{2}=AP-CP\)
Tương tự \(AS=AP-BP\). Vì \(BP=CP< PA\) nên \(AR=AS\)
Suy ra AQ' là trung tuyến của \(\Delta\)RAS và cũng là đường phân giác \(\widehat{BAC}\)
Mặt khác tam giác BPC cân tại P có đường tròn nội tiếp tiếp xúc với BC tại M, suy ra M là trung điểm BC
Theo tính chất đường trung bình thì tứ giác MNQ'P là hình bình hành
Do vậy Q' trùng với Q. Mà AQ' là phân giác góc BAC nên AQ là phân giác góc BAC.
8 tháng 7 2021
Sửa cả đề và trong bài giải luôn: Thay điểm P nằm trong tam giác thành P', tránh trùng với điểm P trên cạnh AB.
23 tháng 7 2023
Ta có: OA + OB + OC = OA + OB + OC = (OA + OB) + OC = AB + OC < AB + BC + CA (vì OC < BC) Vậy ta có: OA + OB + OC < AB + BC + CA (1) Ta cũng có: OA + OB + OC = OA + OB + OC = (OA + OC) + OB = AC + OB < AB + BC + CA (vì OB < AB) Vậy ta có: OA + OB + OC < AB + BC + CA (2) Từ (1) và (2), ta có: OA + OB + OC < AB + BC + CA Tương tự, ta có: OA + OB + OC = OA + OB + OC = (OB + OC) + OA = BC + OA > 0A + OB + OC (vì BC > 0A) Vậy ta có: OA + OB + OC > 0A + OB + OC (3) Ta cũng có: OA + OB + OC = OA + OB + OC = (OA + OB) + OC = AB + OC > 0A + OB + OC (vì AB > 0A) Vậy ta có: OA + OB + OC > 0A + OB + OC (4) Từ (3) và (4), ta có: OA + OB + OC > 0A + OB + OC Vậy ta có: 0A + OB + OC < AB + BC + CA < OA + OB + OC
10 tháng 7 2019
Câu 1: (Hinh 1)
a) Gọi AO giao BC tại T. Áp dụng ĐL Thales, hệ quả ĐL Thales ta có các tỉ số:
\(\frac{AK}{AB}=\frac{CM}{BC};\frac{CF}{CA}=\frac{OM}{CA}=\frac{TO}{TA}=\frac{TE}{TB}=\frac{TM}{TC}=\frac{TE+TM}{TB+TC}=\frac{ME}{BC}\)
Suy ra \(\frac{AK}{AB}+\frac{BE}{BC}+\frac{CF}{CA}=\frac{CM+BE+ME}{BC}=1\)(đpcm).
b) Dễ có \(\frac{DE}{AB}=\frac{CE}{CB};\frac{FH}{BC}=\frac{BE+CM}{BC};\frac{MK}{CA}=\frac{BM}{BC}\). Từ đây suy ra:
\(\frac{DE}{AB}+\frac{FH}{BC}+\frac{MK}{CA}=\frac{CE+BM+BE+CM}{BC}=\frac{2\left(BE+ME+CM\right)}{BC}=2\)(đpcm).
Câu 2: (Hình 2)
Qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt tia BA tại E. Khi đó dễ thấy \(\Delta\)CAE cân tại A.
Áp dụng hệ quả ĐL Thales có: \(\frac{AD}{CE}=\frac{BA}{BE}\) hay \(\frac{AD}{CE}=\frac{c}{b+c}\Rightarrow AD=\frac{c.CE}{b+c}\)
Vì \(CE< AE+AC=2b\)(BĐT tam giác) nên \(AD< \frac{2bc}{b+c}\)(đpcm).
Câu 3: (Hình 3)
Gọi M và D thứ tự là trung điểm cạnh BC và chân đường phân giác ứng với đỉnh A của \(\Delta\)ABC.
Do G là trọng tâm \(\Delta\)ABC nên \(\frac{AG}{GM}=2\). Áp dụng ĐL đường phân giác trong tam giác ta có:
\(\frac{IA}{ID}=\frac{BA}{BD}=\frac{CA}{CD}=\frac{BA+CA}{BD+CD}=\frac{AB+AC}{BC}=\frac{2BC}{BC}=2\)
Suy ra \(\frac{IA}{ID}=\frac{GA}{GM}\left(=2\right)\). Áp dụng ĐL Thales đảo vào \(\Delta\)AMD ta được IG // BC (đpcm).
QN
0
