Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC ). Vẽ đường tròn tâm O đường kính BCa. Xác định vị trí tương đối của điểm A với đường tròn (O)b. Tiếp tuyến tại A và B của đường tròn O cắt nhau tại D. Qua O kẻ...

1. Để chứng minh cung DE có số đo không đổi, ta cần chứng minh góc \(\angle BOC\) có số đo không đổi. Thực vậy, theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, OB và OC là phân giác ngoài của tam giác ABC. Ta có

\(\angle BOC=180^{\circ}-\frac{\angle MBC}{2}-\frac{\angle NCB}{2}=\frac{\angle ABC}{2}+\frac{\angle ACB}{2}=90^{\circ}-\frac{\angle BAC}{2}=90^{\circ}-\frac{a}{2}\)
Do đó góc \(\angle BOC\) có số đo không đổi. Suy ra cung DE có số đo không đổi.

2. Do CD vuông góc với AB nên BC,BD là đường kính của hai đường tròn (O) và (O'). Suy ra
\(\angle CFB=\angle DEB=90^{\circ}\to\angle CFD=\angle CED=90^{\circ}.\) Vậy tứ giác CDEF nội tiếp. Do đó \(\angle ECF=\angle EDF\to\angle FAB=\angle ECF=\angle EDF=\angle EDB\)
Vậy AB là phân giác của góc AEF.

3. Đề bài có chút nhầm lẫn, "kẻ \(IH\perp BC\) mới đúng. Do tam giác ABC nhọn và I nằm trong nên các điểm H,K,L nằm trên các cạnh của tam giác. Sử dụng bất đẳng thức \(a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\left(a+b\right)^2,\) ta suy ra \(AL^2+BL^2\ge\frac{1}{2}\left(AL+BL\right)^2=\frac{1}{2}AB^2.\) Tương tự ta cũng có \(BH^2+CH^2\ge\frac{1}{2}BC^2,KC^2+KA^2\ge\frac{1}{2}AC^2.\) Mặt khác theo định lý Pitago

\(AL^2+BH^2+CK^2=\left(IA^2-IL^2\right)+\left(IB^2-IH^2\right)+\left(IC^2-IK^2\right)\)
\(=\left(IA^2-IK^2\right)+\left(IB^2-IL^2\right)+\left(IC^2-IH^2\right)\)
\(=BL^2+CH^2+AK^2.\)

Thành thử \(AL^2+BH^2+CK^2=\frac{\left(AL^2+BL^2\right)+\left(BH^2+CH^2\right)+\left(CK^2+AK^2\right)}{2}\ge\frac{AB^2+BC^2+CA^2}{2}.\)
Dấu bằng xảy ra khi \(AL=BL,BH=CH,CK=AK\Leftrightarrow I\) là giao điểm ba đường trung trực.

Đúng(0)

AL

Ánh Loan

21 tháng 12 2016

Cho đường tròn đường kính 10 cm, một đường thẳng d cách tâm O một khoảng bằng 3 cm.a, Xác định vị trí tương đối của đường thẳng d và đường tròn (O)b. Đường thẳng d cắt đường tròn (O) tại điểm A và B. Tính độ dài dây AB.c Kẻ đường kính AC của đường tròn (O). Tính độ dài BC và số đo (làm tròn đến độ).d Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C cắt tia AB tại M. Tính độ dài...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

0

P

Phan

16 tháng 7 2023

Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ đường tròn tâm O đường kính AC. Qua C kẻ tiếp tuyến d với đường tròn tâm O. Kẻ OD vuông góc với BC (D thuộc BC ), đường thẳng OD cắt đường thẳng d tại E và cắt đường thẳng AB tại F. Gọi I là giao điểm của AE và BO

1) Chứng minh AE vuông góc với BO

2) Chứng minh AI.AE =2OD.OF

#Toán lớp 9

0

NH

Nguyễn hải ly

22 tháng 12 2017

cho điểm a ở ngoài đường tròn tâm o bán kính r, kẻ tiếp tuyến ab với đường tròn b là tiếp điểm. đường thẳng đi qua b vuông góc với oa tại h cắt đường tròn tâm o tại c, vẽ đường kính db của đường tròn tâm o. a.chứng minh tam giác bcd vuông

b. ac là tiếp tuyến của đường tròn tâm o

c. DC.AD không đổi

#Toán lớp 9

0

DT

Đỗ trà my

30 tháng 4 2020

Cho đường tròn đường kính 10 cm, một đường thẳng d cách tâm O một khoảng bằng 3 cm.1. Xác định vị trí tương đối của đường thẳng d và đường tròn (O).2. Đường thẳng d cắt đường tròn (O) tại điểm A và B. Tính độ dài dây AB.3. Kẻ đường kính AC của đường tròn (O). Tính độ dài BC và số đo góc CAB (làm tròn đến độ).4. Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C cắt tia AB tại M. Tính...

Đọc tiếp

#Toán lớp 9

1

NH

Nguyễn Hoàng Bảo Nhi

30 tháng 4 2020

1.Vì đường kính của (O) là 10cm

\(\Rightarrow\) Bán kính của (O) là \(R=\frac{10}{2}=5\)

\(\Rightarrow d\left(O,d\right)=3< R=5\)

\(\Rightarrow d\left(O\right)\)cắt nhau tại 2 điểm phân biệt

2 . Kẻ \(OI\perp AB\Rightarrow I\) là trung điểm AB

Vì \(OI\perp AB\Rightarrow OI=3\Rightarrow AI^2=OA^2-0I^2=5^2-3^2=16\)

\(\Rightarrow AI=4\Rightarrow AB=2AI=8\) vì I là trung điểm AB

3.Vì O, I là trung điểm AC,AB

=> OI là đường trung bình \(\Delta ABC\Rightarrow BC=2OI=6\)

4 . Vì AC là đường kính của (O)

\(\Rightarrow CB\perp AB\Rightarrow CB\perp AM\)

Mà \(CA\perp CM\Rightarrow CB^2=AB.BM\)

\(\Rightarrow BM=\frac{BC^2}{AB}=\frac{6^2}{8}=\frac{9}{2}\)

Đúng(0)

Chúng tôi đề xuất

Tài nguyên

Ứng dụng mobile

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP