Question

[Echizen Ryoma]

cho tam giác ABC đều

N,M là trung điểm của AB và AC

Đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O

a,CMR ON=OM

b,Plà trung điểm của BC 

CMR : A,O,P, thẳng hàng

c, D\(\in\)AB, E\(\in\)AC   sao cho AD=CE

Tính góc DOE

mình làm phần a và b  rồi giúp mình phần c nha

Answer 1

[Phan Thanh Tịnh]

\(\Delta ABC\)đều có\(\widehat{BAC}=60^0\); AB = AC mà AM = AB/2 ; CN = AC/2 (M,N lần lượt là trung điểm AB,AC) nên AM = CN

Xét\(D\ne M\)thì ta có 2 trường hợp :

TH1 : D nằm giữa A,M thì AD < AM mà AD = CE (gt) ; AM = CN (cmt) => CE < CN => E nằm giữa C,N và :

AM - AD = CN - CE hay DM = EN

TH2 : M nằm giữa A,D thì AM < AD mà AM = CN ; AD = CE => CN < CE => N nằm giữa C,E và :

AD - AM = CE - CN hay DM = EN

\(\Delta DOM,\Delta EON\)lần lượt vuông tại M,N có DM = EN (cmt) ; OM = ON (cmt) nên\(\Delta DOM=\Delta EON\left(2cgv\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{DOM}=\widehat{EON}\)(2 góc tương ứng)

Tiếp tục xét 2 trường hợp trên và trường hợp D trùng M,ta có :

TH1 : D nằm giữa A,M thì\(\widehat{DOE}=\widehat{DON}+\widehat{EON}=\widehat{DON}+\widehat{DOM}=\widehat{MON}\)

TH2 : M nằm giữa A,D thì\(\widehat{DOE}=\widehat{DOM}+\widehat{MOE}=\widehat{EON}+\widehat{MOE}=\widehat{MON}\)

TH3 : D trùng M thì AD = AM mà AD = CE ; AM = CN => CE = CN => E trùng N =>\(\widehat{DOE}=\widehat{MON}\)

Vậy\(\widehat{DOE}=\widehat{MON}\)mà\(\Delta AOM,\Delta AON\)lần lượt vuông tại M,N có\(\widehat{MAO}+\widehat{MOA}=\widehat{NAO}+\widehat{NOA}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{MAO}+\widehat{MOA}+\widehat{NAO}+\widehat{NOA}=90^0+90^0\Rightarrow\widehat{MAN}+\widehat{MON}=180^0\)\(\Rightarrow\widehat{DOE}=\widehat{MON}=180^0-60^0=120^0\)