Chứng minh rằng: \(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2c^2-ab-bc-ca\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
29 tháng 7 2020
VT = a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b)(a2 - ab + b2) + c3 - 3abc
= (a + b)(a2 + 2ab + b2 - 3ab) + c3 - 3abc
= (a + b)3 - 3ab(a + b) + c3 - 3abc
= (a + b+ c)[(a + b)2 - c(a + b) + c2] - 3ab(a + b+ c)
= (a + b + c))(a2 + 2ab + b2 - ac - bc + c2 - 3abc)
= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) = VP
=> ĐPCM
29 tháng 7 2020
Sửa đề :
VP= (a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)
=a3+ab2+ac2-a2b-abc-ca2+ba2+b3+bc2-ab2-b2c-abc+ca2+cb2+c3-abc-bc2-c2a
=a3+b3+c3-3abc
Cách này đỡ phức tạp hơn cách của edogawa conan
TN
6 tháng 2 2017
\(VT=a^3+b^3+c^3-3abc\)
\(=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)+c^3-3abc\)
\(=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc\)
\(=\left(a+b+c\right)\left[\left(a+b\right)^2-\left(a+b\right)c+c^2\right]-3ab\left(a+b+c\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2-3ab\right)\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=VP\)
1 tháng 9 2017
Không mất tính tổng quát giả sử \(a\ge b\ge c\)
\(a^3+b^3+c^3+3abc\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\)
\(\Leftrightarrow a\left(a-b\right)\left(a-c\right)+b\left(b-c\right)\left(b-a\right)+c\left(c-a\right)\left(c-b\right)\ge0\) (đúng)
Hoặc nó tương đương \(abc\ge\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)}\le\dfrac{2b}{2}=b\)
Tương tự rồi nhân theo vế cũng thu được ĐPCM
KN
14 tháng 3 2020
\(BĐT\Leftrightarrow\sqrt{\left(a^2b+b^2c+c^2\right)\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)}\ge abc\)
\(+\sqrt[3]{abc\left(a^2+bc\right)\left(b^2+ca\right)\left(c^2+ab\right)}\)
Đặt \(P=\sqrt{\left(a^2b+b^2c+c^2\right)\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopski:
\(\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)\ge\left(\text{ Σ}_{cyc}ab\sqrt{ab}\right)^2\)
\(\Rightarrow P\ge ab\sqrt{ab}+bc\sqrt{bc}+ca\sqrt{ca}\)(1)
Lại áp dụng BĐT Bunhiacopski:
\(\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\left(bc^2+ca^2+ab^2\right)\ge\left(3abc\right)^2\)
\(\Rightarrow P\ge3abc\)(2)
Tiếp tục áp dụng BĐT Bunhiacopski:
\(\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\left(ca^2+b^2a+c^2b\right)\ge\left(\text{Σ}_{cyc}a^2\sqrt{bc}\right)^2\)
\(\Rightarrow P\ge a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ca}+c^2\sqrt{ab}\)(3)
Từ (1), (2), (3) suy ra \(3P\ge3abc+\left[\text{Σ}_{cyc}\left(a^2\sqrt{bc}+bc\sqrt{bc}\right)\right]\)
Sử dụng một số phép biến đổi và bđt Cô - si cho 3 số , ta được:
\(3P\ge3abc+3\sqrt[3]{abc\left(a^2+bc\right)\left(b^2+ca\right)\left(c^2+ab\right)}\)
\(\Rightarrow P\ge abc+\sqrt[3]{abc\left(a^2+bc\right)\left(b^2+ca\right)\left(c^2+ab\right)}\)
hay \(\sqrt{\left(a^2b+b^2c+c^2\right)\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)}\)
\(\ge abc+\sqrt[3]{abc\left(a^2+bc\right)\left(b^2+ca\right)\left(c^2+ab\right)}\)
Dấu "=" khi a = b = c > 0
P/S: Không biết đúng không nữa, chưa check lại
24 tháng 7 2023
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a^2-bc=x\\b^2-ca=y\\c^2-ab=z\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x+y+z\ge0\)
\(\)Đẳng thức cần c/m trở thành: \(x^3+y^3+z^3\ge3xyz\left(1\right)\)
Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM cho 3 số x,y,z, ta có:
\(x^3+y^3+z^3\ge3\sqrt[3]{x^3.y^3.z^3}=3xyz\)
=> Đẳng thức (1) luôn đúng với mọi x
Dấu = xảy ra khi: x=y=z hay \(a^2-bc=b^2-ca=c^2-ab\)
và \(a^2+b^2+c^2-\left(ab+bc+ca\right)=0\)\(\Rightarrow a=b=c\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 7 2020
Bạn tham khảo bài số 3:
Câu hỏi của bach nhac lam - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
13 tháng 7 2020
\(\Sigma_{sym}a^4b^4\ge\frac{\left(\Sigma_{sym}a^2b^2\right)^2}{3}\ge\frac{\left(\Sigma_{sym}ab\right)^4}{27}\ge\frac{a^2b^2c^2\left(a+b+c\right)^2}{3}=3a^4b^4c^4\)
13 tháng 7 2020
\(\Sigma\frac{a^5}{bc^2}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{abc\left(a+b+c\right)}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^4}{abc\left(a+b+c\right)^3}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^6\left(a^2+b^2+c^2\right)}{27abc\left(a+b+c\right)^3}\)
\(\ge\frac{\left(3\sqrt[3]{abc}\right)^3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{27abc}=a^2+b^2+c^2\)
Biến đổi vế trài ta có
a3+b3+c3-3abc+3ab(a+b)-3ab(a+b)
=(a+b)(a2-ab+b2)-3ab(a+b+c)+3ab(a+b)+c3
=(a+b)(a+b)2+c3-3ab(a+B+c)
=......................
Bn cứ nhóm lại là = vế phải.
bạn thiếu dấu cộng giữa b2 và c2 vì vậy vế phải là (a+b+c)(a2+b2+c2 -ab-bc-ac)
Ta có : a3+b3+c3 -3abc = (a+b)3 -3ab(a+b)+c3 -3abc = (a+b)3 +c3 -3ab(a+b+c)
=(a+b+c)3 -3(a+b)c(a+b+c)-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)((a+b+c)2-3(ac+bc)-3ab)
=(a+b+c)(a2+b2+c2 +2ab +2ac +2bc -3ab -3bc -3ac )
=(a+b+c)(a2+b2 +c2-ab-bc-ac)=vp (đpcm)