chứng minh: n4+6n3+23n2+18n chia hết cho 24 với mọi n thuộc N
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
1
PT
1
CM
7 tháng 11 2017
A = n 4 – 2 n 3 – n 2 +2n = (n – 2)(n – 1)n(n + 1) là tích của 4 số nguyên liên tiếp do đó A ⋮ 24 .
5 tháng 4 2017
1)
a)251-1
=(23)17-1\(⋮\)23-1=7
Vậy 251-1\(⋮\)7
b)270+370
=(22)35+(32)35\(⋮\)22+32=13
Vậy 270+370\(⋮\)13
c)1719+1917
=(BS18-1)19+(BS18+1)17
=BS18-1+BS18+1
=BS18\(⋮\)18
d)3663-1\(⋮\)35\(⋮\)7
Vậy 3663-1\(⋮\)7
3663-1
=3663+1-2
=BS37-2\(⋮̸\)37
Vậy 3663-1\(⋮̸\)37
e)24n-1
=(24)n-1\(⋮\)24-1=15
Vậy 24n-1\(⋮\)15
TD
1
DD
12 tháng 5 2021
Giả sử A=4n3 - 6n2 + 3n + 37 chia hết cho 125 với mọi n là số tự nhiên .
-> 4n3 - 6n2 + 3n + 37 chia hết cho 5
-> 2(4n3 - 6n2 + 3n + 37) chia hết cho 5
-> (2n-1)3 +75 chia hết cho 5
-> (2n-1)3 chia hết cho 5 -> 2n-1 chia hết cho 5 -> (2n-1)3 chia hết cho 125 nhưng 75 không chia hết cho 125 -> 2A không chia hết cho 125 -> A không chia hết cho 125 (trái giả thiết)
-> đpcm
TL
4
AN
9 tháng 9 2017
Ta có: \(10^n+18n-1=\left(10^n-1\right)+18n=99....9+18n\) (số 99...9 có n chữ số 9)
\(=9\left(11....1+2n\right)\)(số 11...1 có n chữ số 1) = 9.A
Xét biểu thức trong ngoặc \(A=11...1+2n=11.....1-n+3n\)(số 11...1 có n chữ số 1).
Ta đã biết một số tự nhiên và tổng các chữ số của nó sẽ có cùng số dư trong phép chia cho 3. Số 11...1 (n chữ số 1) có tổng các chữ số là 1 + 1 + ... + 1 = n (vì có n chữ số 1).
\(\Rightarrow\) 11...1 (n chữ số 1) và n có cùng số dư trong phép chia cho 3 => 11...1 (n chữ số 1) - n chia hết cho 3 => A chia hết cho 3 => 9.A chia hết cho 27 hay 10n + 18n - 1 chia hết cho 27 (đpcm)
9 tháng 9 2017
Ta có: 10^n + 18n - 1 = (10^n - 1) + 18n = 99...9 + 18n (số 99...9 có n chữ số 9)
= 9(11...1 + 2n) (số 11...1 có n chữ số 1) = 9.A
Xét biểu thức trong ngoặc A = 11...1 + 2n = 11...1 - n + 3n (số 11...1 có n chữ số 1).
Ta đã biết một số tự nhiên và tổng các chữ số của nó sẽ có cùng số dư trong phép chia cho 3. Số 11...1 (n chữ số 1) có tổng các chữ số là 1 + 1 + ... + 1 = n (vì có n chữ số 1).
=> 11...1 (n chữ số 1) và n có cùng số dư trong phép chia cho 3 => 11...1 (n chữ số 1) - n chia hết cho 3 => A chia hết cho 3 => 9.A chia hết cho 27 hay 10^n + 18n - 1 chia hết cho 27 (đpcm)
CM
16 tháng 7 2017
a) Phân tích 15 n + 15 n + 2 = 113.2. 15 n .
b) Phân tích n 4 – n 2 = n 2 (n - 1)(n +1).
NT
2
30 tháng 3 2016
Ta có: A=10^n+18n-1
A=10^n-1+18n
A=99...9+18n
n c/số 9
A=11...1.9+18n
n c/số 1
Ta đã biết mọi số tự nhiên đèu có thể viết dưới dạng tổng các chữ số của số đó và một số chia hết cho 9
=>11...1=n+9q (q thuộc N)
n c/số 1
Ta có:A=(n+9q).9+18n
A= 9n+81q+18n
A=27n+81q
A=27(n+3q)
Vì 27(n+3q) chia hết cho 27 với mọi n thuộc N
=>A chia hết cho 27 với mọi n thuộc N
Bài toán được chứng minh
HH
2
LN
13 tháng 10 2017
Mình xin trả lời bạn như sau :
Ta có: 10n + 18n - 1 = (10n- 1) + 18n = 99...9 + 18n (số 99...9 có n chữ số 9)
= 9(11...1 + 2n) (số 11...1 có n chữ số 1) = 9.A
Xét biểu thức trong ngoặc A = 11...1 + 2n = 11...1 - n + 3n (số 11...1 có n chữ số 1).
Ta đã biết một số tự nhiên và tổng các chữ số của nó sẽ có cùng số dư trong phép chia cho 3. Số 11...1 (n chữ số 1) có tổng các chữ số là 1 + 1 + ... + 1 = n (vì có n chữ số 1).
\(\Rightarrow\)11...1 (n chữ số 1) và n có cùng số dư trong phép chia cho 3 \(\Rightarrow\)11...1 (n chữ số 1) - n chia hết cho 3 \(\Rightarrow\) A chia hết cho 3 => 9.A chia hết cho 27 hay 10n+ 18n - 1 chia hết cho 27 (đpcm)
LN
13 tháng 10 2017
Mình cũng có cách này nữa mặc dù dài nhưng vẫn tốt :
Chọn n=1 \(\Rightarrow\) 10+18-1=27 chia hết cho 27 (luôn đúng)
Giả sử với mọi n=k (k thuộc N*) thì ta luôn có 10k+18k-1 chia hết cho 27.
Cần chứng minh với n=k+1 thì 10k+1+18(k+1)-1 chia hết cho 27.
Ta có 10k+1+18(k+1)-1= 10 x 10k+18k+18-1
= (10k +18k-1)+9 x 10k +18
= (10k+18k-1)+9(10k+2)
Ta có: (10^k+18k-1) chia hết cho 27
\(\Rightarrow\) 10k+1+18(k+1)-1 chia hết cho 27 khi và chỉ khi 9(10k+2) chia hết cho 27.
Chứng minh 9(10k+2) chia hết cho 27.
Chọn k=1 \(\Rightarrow\) 9(10+2)=108 chia hết cho 27(luôn đúng)
Giả sử k=m(với m thuộc N*) ta luôn có 9(10m+2) chia hết cho 27.
Ta cần chứng minh với mọi k= m+1 ta có 9(10m+1+2) chia hết cho 27.
Thật vậy ta có: 9(10m+1+2)= 9( 10 x10m+2)= 9( 10m+9 x 10m+2)
= 9(10m+2) +81 x 10m
Ta có 9(10m+2) chia hết cho 27 và 81x10m chia hết cho 27
\(\Rightarrow\) 9(10m+1+2) chia hết cho 27
\(\Rightarrow\)9(10k+2) chia hết cho 27
\(\Rightarrow\)10k+1+18(k+1)-1 chia hết cho 27
\(\Rightarrow\)10n+18n-1 chia hết cho 27 \(\Rightarrow\) ( đpcm )
\(=n^4+2n^3+4n^3+8n^2+15n^2+30n-12n-24+24=\left(n+2\right)\left(n^3+4n^2+15n-12\right)+24\)
\(=\left(n+2\right)\left(n^3-3n^2+7n^2-21n+36n-12\right)+24=\left(n+2\right)\left(n-3\right)\left(n^2+7n+12\right)+24\)
\(=\left(n+2\right)\left(n-3\right)\left(n^2+3n+4n+12\right)+24=\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)\left(n+1-4\right)+24\)
\(=\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)-4\left(n+2\right)\left(n+3\right)\left(n+4\right)+24\)
(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) là tích 4 số tự nhiên liên tiếp => chia hết cho 1.2.3.4=24
(n+2)(n+3)(n+4) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp => chia hết cho 1.2.3=6 => 4(n+2)(n+3)(n+4) chia hết cho 4.6=24
biểu thức vừa thu gọn là tổng hiệu của các số chia hết cho 24 => chia hết cho 24