Cho n số a1, a2, a3,...,an mỗi số nhận giá trị -1 hoặc 1 và a1a2+a2a3+...+ana1=0.
Chứng Minh Rằng: n chia hết cho 4.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có :n số hạng :a1 ;a2 ; a3 ; ... ; an-1 ;an chỉ nhận các giá trị bằng 1 hoặc -1 Suy ra :Các tích :a1a2 ; a2a3 ; ...; ana1 chỉ nhận các giá trị bằng 1 hoặc -1 Mà a1a2+a2a3+a3a4+...+ana1=0 Suy ra các số hạng trong dãy có giá trị bằng 1 và -1 là bằng nhau Mà dãy có n số hạng Suy ra có n/2 số hạng có giá trị bằng -1 Lại có : (a1a2)(a2a3)(a3a4)...(ana1)=(a1a2a3...an)(a1a2a3...an)=1>0 Chứng tỏ n/2 số hạng có giá trị bằng -1 là số chẵn Suy ra n/2 chia hết cho 2 Suy ra n chia hết cho 4 Vậy n chia hết cho 4
Vì a1; a2; a3; a4; ....... ; an , mỗi số được nhận giá trị là 1 hoặc -1 nên a1a2 ; a2a3 ; .......; ana1 mỗi tích được nhận giá trị là 1 hoặc -1
mà a1a2 + a2a3 + ........ + ana1 = 0 nên số các tích bằng 1 phải bằng số các tích bằng -1\(\Rightarrow\) số các tích bằng -1 là n/2
Lại có a1a2 .a2a3 ........ ana1=(a1. a2.a3. a4 ...... an)\(^2\)=1 nên số các tích bằng -1phải là số chẵn hay n/2 là số chẵn nên n chia cho 4 vậy n không thể bằng 2002
xét n tích a1a2+a2a3+...+ana1, mỗi tích có giá trị bằng 1 hoặc -1 mà tổng của chúng =0 nên số tích có giá trị 1 bằng số tích có giá trị -1 và đều = n/2 => n chia hết cho 2
bây giờ ta chứng minh rằng số tích có giá trị bằng -1 cũng là số chẵn
thật vậy xét
A=(a1.a2)(a2.a3)...(an-1.an) (an.a-1)
ta thấy A =a1^2.a2^2....an^2 nên A>0 , chứng tỏ số tích có giá trị -1 cũng là số chẵn tức là n/2 là số chẵn , do đó n chia hết cho 4
a1a2+a2a3+...+ana1 = 0
Mà a1, a2, a3,...,an mỗi số nhận giá trị -1 hoặc 1 => am.an = 1 hoặc -1 (am,an là bất kì số nào trong dãy trên) và tổng trên có số giá trị nhận -1 và số giá trị nhận 1 bằng nhau.
Số số hạng trong tổng trên là số chẵn.
a1a2+a2a3+...+ana1 có 4 số hạng trở lên.
=> n chia hết cho 4 (đpcm)