Chứng minh \(\sqrt{2+\sqrt{6}}\) là số vô tỉ.
Giúp mình với ạ
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
NH
0
Những câu hỏi liên quan
17 tháng 7 2019
Liên quan gì bạn @Tam Mai, chứng minh chứ không phải bấm máy tính
TB
20 tháng 7 2018
a, Giả sử \(\sqrt{6}\) là số hữu tỉ
\(\Rightarrow\) \(\sqrt{6}\)viết được dưới dạng phân số tối giản \(\frac{a}{b}\)\(\Rightarrow\) \(\sqrt{6}\)= \(\frac{a}{b}\)\(\Leftrightarrow\) (\(\sqrt{6}\))2 = (\(\frac{a}{b}\))2 \(\Leftrightarrow\) a2 = 6b2 mà (a, b) = 1 \(\Rightarrow\) a2 chia hết cho 6 mà (6, 1) = 1 \(\Rightarrow\) a chia hết cho 6 (1)
Đặt a = 6k \(\Rightarrow\) a2 = 36k2 và a = 6b2 \(\Rightarrow\) 36k2 = 6b2 \(\Leftrightarrow\) b2 = 6k2 mà (6, 1) = 1 \(\Rightarrow\) b2 chia hết cho 6 \(\Rightarrow\) b chia hết cho 6 (2)
Từ (1), (2) và \(\frac{a}{b}\)là phân số tối giản \(\Rightarrow\) Trái với giả thiết (a, b) = 1.
Vậy \(\sqrt{6}\)là số vô tỉ.
b, Giả sử \(\sqrt{1+\sqrt{2}}\)là số hữu tỉ, đặt \(\sqrt{1+\sqrt{2}}\)= a
Ta có: a2 = (\(\sqrt{1+\sqrt{2}}\))2 = 1 + \(\sqrt{2}\)\(\Leftrightarrow\) a2 - 1 = \(\sqrt{2}\)
Ta có: a2 - 1 là số hữu tỉ mà \(\sqrt{2}\)là số vô tỉ \(\Rightarrow\) vô lí
Vậy \(\sqrt{1+\sqrt{2}}\)là số vô tỉ
22 tháng 6 2016
Giả sử phản chứng √2 là số hữu tỉ ⇒ √2 có thể biểu diễn dưới dạng phân số tối giản m/n
√2 = m/n
⇒ 2 = m²/n²
⇒ m² = 2n²
⇒ m² chia hết cho n²
⇒ m chia hết cho n (vô lý vì m/n là phân số tối giản nên m không chia hết cho n)
Vậy giả sử phản chứng là sai. Suy ra √2 là số vô tỉ.
Q
22 tháng 6 2016
Giả sử căn bậc 2 của 2 là 1 số hữu tỉ ( nếu kết quả ra số hữu tỉ thì điều giả sử là đúng còn nếu ko thì điều giả sử là sai)
Vậy căn 2 = a/bvới a,b thuộc Z, b khác 0 và a/b là 1 phân số tối giản.
bình phương hai vế ta được: 2=a^2/b^2
suy ra: a^2=2b^2
Vậy a^2 là số chẵn, suy ra a là số chẵn.
nên a=2m, m thuộc Z(m là 1 tham số), ta được:
(2m)^2=a^2=2b^2
suy ra: b^2=(2m)^2/2=2m^2
Vậy b^2 là số chẵn suy ra b là số chẵn.
nên b=2n, n thuộc Z(n là tham số)
Như vậy: a/b = 2m/2n ko phải là phân số tối giản, trái với giả sử ban đầu.
Vậy căn bậc 2 của 2 là 1 số vô tỉ.
Chúc bạn học giỏi và thành công.
NN
7
20 tháng 1 2022
) Giả sử √2 là số hữu tỉ nên suy ra : √2=ab ( a ; b ∈
N* ) ; ( a ; b ) = 1
⟹
b√2=a
⟹
b2.2=a2
⟹
a2 chia hết cho 2 ; mà 2
là số nguyên tố
⟹
a chia hết cho 2
⟹
a2 chia hết cho 4
⟹
b2.2 chia hết cho 4
⟹
b2 chia hết cho 2 ; mà 2 là số nguyên tố nên suy ra b chia hết cho 2
⟹
(a;b)=2 mâu thuẫn với (a;b)=1
⟹
Điều giả sử sai
⟹
√2 là số vô tỉ) Giả sử √2 là số hữu tỉ nên suy ra : √2=ab ( a ; b ∈
N* ) ; ( a ; b ) = 1
⟹
b√2=a
⟹
b2.2=a2
⟹
a2 chia hết cho 2 ; mà 2
là số nguyên tố
⟹
a chia hết cho 2
⟹
a2 chia hết cho 4
⟹
b2.2 chia hết cho 4
⟹
b2 chia hết cho 2 ; mà 2 là số nguyên tố nên suy ra b chia hết cho 2
⟹
(a;b)=2 mâu thuẫn với (a;b)=1
⟹
Điều giả sử sai
⟹
√2 là số vô tỉ
TN
1
GH
11 tháng 7 2023
Giả sử \(2\sqrt{2}+\sqrt{3}=x\left(x\in Q\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(2\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)^2=x^2\\ \Leftrightarrow11+4\sqrt{6}=x^2\\ \Leftrightarrow\sqrt{6}=\dfrac{x^2-11}{4}\)
Vì \(\sqrt{6}\) là số vô tỉ nên \(\dfrac{x^2-11}{4}\) là số vô tỉ \(\Rightarrow\) \(x^2\) là số vô tỉ, \(\Rightarrow x\) là số vô tỉ (vô lý)
Vậy \(2\sqrt{2}+\sqrt{3}\) là số vô tỉ
Giả sử \(\sqrt{3}-\sqrt{2}=x\left(x\in Q\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^2=x^2\\ \Rightarrow5-2\sqrt{6}=x^2\\ \Rightarrow\sqrt{6}=\dfrac{5-x^2}{2}\)
Vì \(\sqrt{6}\) là số vô tỉ nên \(\dfrac{5-x^2}{2}\Rightarrow\) \(x^2\)là số vô tỉ, \(\Rightarrow x\) là số vô tỉ (vô lý)
Vậy \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) là số vô tỉ
1 tháng 7 2021
Giả sử \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) là số hữu tỉ
nên \(\sqrt{3}-\sqrt{2}=\dfrac{p}{q}\left(q\ne0\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{p^2}{q^2}=5-2\sqrt{6}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{p^2}{q^2}-5=-2\sqrt{6}\)(vô lý)
Vậy: \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) là số vô tỉ
H
0
5 tháng 8 2016
Ta có : \(\sqrt{2}\)là số vô tỉ
\(\sqrt{3}\)là số vô tỉ
\(\Rightarrow\sqrt{2}+\sqrt{3}\)là số vô tỉ ( đpcm )
b) tương tự :
\(\hept{\begin{cases}\sqrt{2}vôti\\\sqrt{3}vôti\\\sqrt{5}vôti\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}\)vô tỉ