Question

[Nguyễn Tiến Dũng]

cmr 

nếu p và p^2 + 2 là số nguyên tố thì p^3 +2 cũng là số nguyên tố

Answer 1

[hnamyuh]

$p^2 + 2 = p^2 - 1 + 3 = (p - 1)(p + 1) + 3$

Trong ba số tự nhiên liên tiếp : p - 1 ; p ; p + 1 có một số chia hết cho 3

Số đó không thể là p -1 hoặc p + 1 vì nếu giả sử ngược lại, ta suy ra $p^2 + 2$ chia hết cho 3 và $p^2 +2 > 3$ ( vô lí vì $p^2 + 2$ là số nguyên tố)

Vậy p chia hết cho 3 mà p là số nguyên tố nên suy ra p = 3

Khi p = 3 thì $p^3 + 2 = 3^3 + 2 = 29$ là số nguyên tố

Answer 2

[Hphong]

Nếu p = 2 thì \(p^2+2=6\) (loại)

Nếu p = 3 thì \(p^2+2=11\) (chọn)

\(\Rightarrow p^3+2=3^3+2=29\) (số nguyên tố)

Hay p > 3

Vì p là số nguyên tố nên p không chia hết cho 3          \(\left(1\right)\)

\(p\inℤ \Rightarrow p^2\) là số chính phương                                    \(\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right);\left(2\right) \Leftrightarrow p^2\) chia 3 dư 1.

\(\Rightarrow p^2+2 ⋮ 3\)                                                                     \(\left(3\right)\)

Hay mặt khác, p > 3

\(\Rightarrow p^2>9\Leftrightarrow p^2+2>11\)                                                 \(\left(4\right)\)

Từ \(\left(3\right);\left(4\right)\Rightarrow p^2+2\) không là số nguyên tố.

\(\Rightarrow\) đề không hợp lệ.

#Hphong