Tìm các số x , y , z thỏa mãn \(x-\frac{1}{y}=y-\frac{1}{z}=z-\frac{1}{x}=1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
JP
1
21 tháng 4 2019
TH1:x+y+z=0 \(\Rightarrow x=y=z=0\)
TH2:x+y+z\(\ne0\)
Áp dụng t/c .............
Được x+y+z=1/2
Biến đổi ta được \(x=\frac{1}{2};y=\frac{1}{2};z=-\frac{1}{2}\)
27 tháng 12 2016
\(P=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\\ \)
\(\frac{x}{x+1}=\frac{x+1-1}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}\) tương tự với y,z
\(P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
=> ta đi tìm GTNN của (..)\(A=\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
đặt x+1=a;y+1=b;z+1=c nội suy cho đỡ đau đầu a+b+c=4
\(B=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)(*)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{a}.\frac{1}{b}.\frac{1}{c}}\)(*)
(*).(**)\(\left(a+b+c\right).\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)\(\Rightarrow\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)}\)
\(\Rightarrow B\ge\frac{9}{4}\Rightarrow A\ge\frac{9}{4}\Rightarrow P\le3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}\)
DS: \(P_{max}=\frac{3}{4}\) đẳng thức khi a=b=c=> x=y=z=1/3
T
9 tháng 2 2019
Ta có: \(\frac{x+1}{y^2+1}=\left(x+1\right).\frac{1}{y^2+1}=\left(x+1\right)\left(1-\frac{y^2}{y^2+1}\right)\)
\(\ge\left(x+1\right)\left(1-\frac{y^2}{2y}\right)=x+1-\frac{y\left(x+1\right)}{2}\)
Thiết lập hai BĐT còn lại tương tự và cộng theo vế:
\(P\ge\left(x+y+z+3\right)-\frac{x\left(z+1\right)+y\left(x+1\right)+z\left(y+1\right)}{2}\)
\(=6-\frac{\left(xy+yz+zx\right)+\left(x+y+z\right)}{2}\) (*)
Lại có BĐT \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
Thật vậy,ta có: BĐT \(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\ge3ab+3bc+3ca\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge0\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Thay vào (*),ta có: \(P\ge6-\frac{\left(xy+yz+zx\right)+\left(x+y+z\right)}{2}\)
\(\ge6-\frac{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+3}{2}=6-\frac{3+3}{2}=3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x^2=y^2=z^2=1\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Vậy \(P_{min}=3\Leftrightarrow x=y=z=1\)
8 tháng 3 2017
Ta có:
\(\hept{\begin{cases}x+y+z=3\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{3}\\x^2+y^2+z^2=17\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z=3\\2\left(xy+yz+zx\right)=\frac{2xyz}{3}\\x^2+y^2+z^2=17\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z=3\\2\left(xy+yz+zx\right)=\frac{2xyz}{3}\\\left(x+y+z\right)^2=17+\frac{2xyz}{3}\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y+z=3\\xy+yz+zx=-4\\xyz=-12\end{cases}}\)
Từ đây ta có x, y, z sẽ là 3 nghiệm của phương trình
\(X^3-3X^2-4X+12=0\)
\(\Leftrightarrow\left(X-3\right)\left(X-2\right)\left(X+2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}X=3\\X=2\\X=-2\end{cases}}\)
Vậy các bộ x, y, z thỏa đề bài là: \(\left(x,y,z\right)=\left(-2,2,3;-2,3,2;2,-2,3;2,3,-2;3,2,-2;3,-2,2\right)\)
24 tháng 7 2020
x(x+1)+y(y+1)+z(z+1) \(\le18\)
<=> \(x^2+y^2+z^2+\left(x+y+z\right)\le18\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\)
\(\Rightarrow3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)
\(\Rightarrow54\ge\left(x+y+z\right)^2+3\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow-9\le x+y+z\le6\)
\(\Rightarrow0\le x+y+z\le6\)
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x+y+1}+\frac{x+y+1}{25}\ge\frac{2}{5}\\\frac{1}{y+z+1}+\frac{y+z+1}{25}\ge\frac{2}{5}\\\frac{1}{z+x+1}+\frac{z+x+1}{25}\ge\frac{2}{5}\end{cases}}\Rightarrow B+\frac{2\left(x+y+z\right)+3}{25}\ge\frac{6}{5}\)
\(\Rightarrow B\ge\frac{27}{25}-\frac{2}{25}\left(x+y+z\right)\ge\frac{15}{25}=\frac{3}{5}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=z>0;x+y+z=6\\\left(x+y+1\right)^2=\left(y+z+1\right)^2=\left(z+x+1\right)^2=25\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z=2}\)
vậy giá trị nhỏ nhất cho B=3/5 khi x=y=z=2
27 tháng 7 2020
Hai Ngox Xem laị từ dòng thứ 2 và dòng thứ 3 xuống dưới. Nhiều lỗi quá!
12 tháng 6 2020
\(P=\frac{1}{x\left(x+1\right)}+\frac{1}{y\left(y+1\right)}+\frac{1}{z\left(z+1\right)}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)}}\)
Mà theo BĐT AM - GM ta có tiếp:
\(xyz\le\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^3=1\)
\(\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\le\left(\frac{x+y+z+3}{3}\right)^3=8\)
\(\Rightarrow P\le\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra tại x=y=z=1
Vậy..................
T
12 tháng 12 2018
\(A=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\).Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz,ta có:
\(=\left(1-\frac{1}{x+1}\right)+\left(1-\frac{1}{y+1}\right)+\left(1-\frac{1}{z+1}\right)\)
\(=\left(1+1+1\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)
\(\ge3-\frac{9}{\left(x+y+z\right)+\left(1+1+1\right)}=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 1/3
Vậy A min = 3/4 khi x=y=z=1/3