1) Cho $\frac{a-\left(c-b\right)}{b-c} \frac{b-\left(a-c\right)}{c-a} \frac{c-\left(b-a\right)}{a-b}=3$CM $\frac{a}{\left(b-c\right)^2} \frac{b}{\left(c-a\right)^2} \frac{c}{\left(a-b\right)^2}=0$...

mọi người ơi giúp mình với.đừng thấy rồi lướt qua nha.mỗi người giúp mnhf 1 câu thôi không nhiều thì it giúp dc phần nào thì giúp mình nhé.mình cảm ơn trước ..(1) Cho $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0$ với a;b;c khác 0 và $M=\frac{b^2c^2}{a}+\frac{c^2a^2}{b}+\frac{a^2b^2}{c}$cm M=3abc(2)cho a;b;c là các số đôi một khác nhau.Rút...

0

NT

Nguyễn Thảo Vân

19 tháng 2 2017

2

NT

NGUYỄN THẾ HIỆP

19 tháng 2 2017

1) $M=a^2b^2c^2\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)$

Em chú ý bài toán sau nhé: Nếu a+b+c=0 <=> $a^3+b^3+c^3=3abc$

CM: có:a+b=-c <=> $\left(a+b\right)^3=-c^3\Leftrightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)=-c^3\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=-3ab\left(a+b\right)$

Chú ý: a+b=-c nên $a^3+b^3+c^3=3abc$

Do $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\Leftrightarrow\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}$

Thay vào biểu thwusc M ta được M=3abc (ĐPCM)

2, em có thể tham khảo trong sách Nâng cao phát triển toán 8 nhé, anh nhớ không nhầm thì bài này trong đó

Nếu không thấy thì em có thể quy đồng lên mà rút gọn

NT

Nguyễn Thảo Vân

20 tháng 2 2017

vâng e cảm ơn anh

bđt<=>$S_a\left(a-b\right)^2+S_b\left(b-c\right)^2+S_c\left(c-a\right)^2\ge0$with $S_a=\frac{1}{2\left(a^2+b^2\right)}-\frac{c}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}$$S_b=\frac{1}{2\left(b^2+c^2\right)}-\frac{a}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}$$S_c=\frac{1}{2\left(c^2+a^2\right)}-\frac{b}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}$cần cm $S_a+S_c;S_b+S_c>0$lại...

NT

Nguyễn Thiều Công Thành

25 tháng 6 2018

0

MH

Minh Hoang Hai

26 tháng 11 2017

Cho $\frac{a\left(c-b\right)}{b-c}+\frac{b\left(a-c\right)}{c-a}+\frac{c\left(b-a\right)}{a-b}=3$

CMR : $\frac{a}{\left(b-c\right)^2}+\frac{b}{\left(c-a\right)^2}+\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=0$

1) Cho a, b, c > 0. Chứng minh: $\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2\ge\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)$2) Cho $a,b,c\in R$.a) Chứng minh: $\left(a^2+3\right)\left(b^2+3\right)\left(c^2+3\right)\ge4\left(a+b+c+1\right)^2$b) Chứng minh: $\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge\frac{5}{16}\left(a+b+c+1\right)^2$3) Cho $a,b,c\in R$Chứng...

0

FS

Fire Sky

9 tháng 8 2019

3

T

tth_new

9 tháng 8 2019

2) Theo nguyên lí Dirichlet, trong ba số $a^2-1;b^2-1;c^2-1$ có ít nhất hai số nằm cùng phía với 1.

Giả sử đó là a² - 1 và b² - 1. Khi đó $\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\ge0\Leftrightarrow a^2b^2-a^2-b^2+1\ge0$

$\Rightarrow a^2b^2+3a^2+3b^2+9\ge4a^2+4b^2+8$

$\Rightarrow\left(a^2+3\right)\left(b^2+3\right)\ge4\left(a^2+b^2+2\right)$

$\Rightarrow\left(a^2+3\right)\left(b^2+3\right)\left(c^2+3\right)\ge4\left(a^2+b^2+1+1\right)\left(1+1+c^2+1\right)$ (2)

Mà $4\left[\left(a^2+b^2+1+1\right)\left(1+1+c^2+1\right)\right]\ge4\left(a+b+c+1\right)^2$ (3)(Áp dụng Bunhicopxki và cái ngoặc vuông)

Từ (2) và (3) ta có đpcm.

Sai thì chịu

T

tth_new

9 tháng 8 2019

Xí quên bài 2 b:v

b) Không mất tính tổng quát, giả sử $\left(a^2-\frac{1}{4}\right)\left(b^2-\frac{1}{4}\right)\ge0$

Suy ra $a^2b^2-\frac{1}{4}a^2-\frac{1}{4}b^2+\frac{1}{16}\ge0$

$\Rightarrow a^2b^2+a^2+b^2+1\ge\frac{5}{4}a^2+\frac{5}{4}b^2+\frac{15}{16}$

Hay $\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\ge\frac{5}{4}\left(a^2+b^2+\frac{3}{4}\right)$

Suy ra $\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge\frac{5}{4}\left(a^2+b^2+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+c^2+\frac{1}{2}\right)$

$\ge\frac{5}{4}\left(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}c+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{5}{16}\left(a+b+c+1\right)^2$ (Bunhiacopxki) (đpcm)

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{2}$

D

dbrby

31 tháng 7 2019

cho a,b,c>0

Cm: $\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{2\sqrt[3]{abc}}\ge\frac{\left(a+b+c+\sqrt[3]{abc}\right)^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}$

#Toán lớp 10

1

AH

Akai Haruma

Giáo viên

31 tháng 7 2019

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{2\sqrt[3]{abc}}=\frac{c^2}{c^2(a+b)}+\frac{a^2}{a^2(b+c)}+\frac{b^2}{b^2(c+a)}+\frac{(\sqrt[3]{abc})^2}{2abc}$

$\geq \frac{(c+a+b+\sqrt[3]{abc})^2}{c^2(a+b)+a^2(b+c)+b^2(c+a)+2abc}=\frac{(a+b+c+\sqrt[3]{abc})^2}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

$\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0$$\Rightarrow\frac{a}{b-c}=-\left(\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}\right)$$\Rightarrow\frac{a}{b-c}=-\frac{ab-b^2+c^2-ac}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}\Rightarrow\frac{a}{\left(b-c\right)^2}=\frac{b^2-ab-c^2+ac}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}$Tương...

ZC

zZz Cool Kid_new zZz

16 tháng 12 2019

#Ngữ văn lớp 1

3

G

gunny

16 tháng 12 2019

tự giải ak

NV

Nguyễn Viết Ngọc

16 tháng 12 2019

Có người nhờ giải ấy @gunny :33

NH

Ngô Hoài Thanh

30 tháng 7 2016

CMR: Với mọi a,b,c>0

$\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{1}{b\left(b+c\right)}\left(a-b\right)^2+\frac{1}{c\left(c+a\right)}\left(b-c\right)^2+\frac{1}{a\left(a+b\right)}\left(c-a\right)^2$

0

ND

Natsu Dragneel

1 tháng 10 2016

1)$\frac{1}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{1}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}+\frac{1}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}$

2)$\frac{a^2}{\left(a-b\right)\left(a-c\right)}+\frac{b^2}{\left(b-c\right)\left(b-a\right)}\frac{c^2}{\left(c-a\right)\left(c-b\right)}$

3)$\frac{1}{x^2+3x+2}+\frac{2x}{x^3+4x^2+4x}+\frac{1}{x^2+5x+6}$

1) 0<a,b,c<1 và ab+bc+ca=1.find Min of: $M=\frac{a^2\left(1-2b\right)}{b}+\frac{b^2\left(1-2c\right)}{c}+\frac{c^2\left(1-2a\right)}{a}$ 2) a,b,c>0.CMR: $\frac{1}{\left(2a+b\right)^2}+\frac{1}{\left(2b+c\right)^2}+\frac{1}{\left(2c+a\right)^2}\ge\frac{1}{ab+bc+ca}$ 3)a,b,c>0...

0

N

Neet

1 tháng 3 2017

Câu hỏi hay

6

AH

Akai Haruma

Giáo viên

2 tháng 3 2017

Bài 3)

BĐT cần chứng minh tương đương với:

$\left ( \frac{a}{a+b} \right )^2+\left ( \frac{b}{b+c} \right )^2+\left ( \frac{c}{c+a} \right )^2\geq \frac{1}{2}\left ( 3-\frac{a}{a+b}-\frac{b}{b+c}-\frac{c}{c+a} \right )$

Để cho gọn, đặt $(x,y,z)=\left (\frac{b}{a},\frac{c}{b},\frac{a}{c}\right)$ $\Rightarrow xyz=1$.

BĐT được viết lại như sau:

$A=2\left [ \frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(y+1)^2}+\frac{1}{(z+1)^2} \right ]+\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\geq 3$ $(\star)$

Ta nhớ đến hai bổ đề khá quen thuộc sau:

Bổ đề 1: Với $a,b>0$ thì $\frac{1}{(a+1)^2}+\frac{1}{(b+1)^2}\geq \frac{1}{ab+1}$

Cách CM rất đơn giản, Cauchy - Schwarz:

$(a+1)^2\leq (a+b)(a+\frac{1}{b})\Rightarrow \frac{1}{(a+1)^2}\geq \frac{b}{(a+b)(ab+1)}$

Tương tự với biểu thức còn lại và cộng vào thu được đpcm

Bổ đề 2: Với $x,y>0,xy\geq 1$ thì $\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}\geq \frac{2}{xy+1}$

Cách CM: Quy đồng ta có đpcm.

Do tính hoán vị nên không mất tổng quát giả sử $z=\min (x,y,z)$

$\Rightarrow xy\geq 1$. Áp dụng hai bổ đề trên:

$A\geq 2\left [ \frac{1}{xy+1}+\frac{1}{(z+1)^2} \right ]+\frac{2}{\sqrt{xy}+1}+\frac{1}{z+1}=2\left [ \frac{z}{z+1}+\frac{1}{(z+1)^2} \right ]+\frac{2\sqrt{z}}{\sqrt{z}+1}+\frac{1}{z+1}$

$\Leftrightarrow A\geq \frac{2(z^2+z+1)}{(z+1)^2}+\frac{1}{z+1}+2-\frac{2}{\sqrt{z}+1}\geq 3$

$\Leftrightarrow 2\left [ \frac{z^2+z+1}{(z+1)^2}-\frac{3}{4} \right ]+\frac{1}{z+1}-\frac{1}{2}-\left ( \frac{2}{\sqrt{z}+1}-1 \right )\geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{(z-1)^2}{2(z+1)^2}-\frac{z-1}{2(z+1)}+\frac{z-1}{(\sqrt{z}+1)^2}\geq 0\Leftrightarrow (z-1)\left [ \frac{1}{(\sqrt{z}+1)^2}-\frac{1}{(z+1)^2} \right ]\geq 0$

$\Leftrightarrow \frac{\sqrt{z}(\sqrt{z}-1)^2(\sqrt{z}+1)(z+\sqrt{z}+2)}{(\sqrt{z}+1)^2(z+1)^2}\geq 0$ ( luôn đúng với mọi $z>0$ )

Do đó $(\star)$ được cm. Bài toán hoàn tất.

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$

P/s: Nghỉ tuyển lâu rồi giờ mới gặp mấy bài BĐT phải động não. Khuya rồi nên xin phép làm bài 3 trước. Hai bài kia xin khiếu. Nếu làm đc chắc tối mai sẽ post.

LF

Lightning Farron

2 tháng 3 2017

Bài 1:

Cho $a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$. Khi đó $M=\sqrt{3}-2$

Ta sẽ chứng minh nó là giá trị nhỏ nhất

Thật vậy, đặt c là giá trị nhỏ nhất của a,b,c. Khi đó, ta cần chứng minh

$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}-\frac{2(a^2+b^2+c^2)}{\sqrt{ab+ac+bc}}\geq(\sqrt3-2)\sqrt{ab+ac+bc}$

$\Leftrightarrow\sqrt{ab+ac+bc}\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}-\sqrt{3(ab+ac+bc)}\right)\geq2(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)$

$\Leftrightarrow\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}-a-b+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}-\frac{b^2}{a}-c+a+b+c-\sqrt{3(ab+ac+bc)}\geq$

$\geq2((a-b)^2+(c-a)(c-b))$

$\Leftrightarrow(a-b)^2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-2\right)+(c-a)(c-b)\left(\frac{1}{a}+\frac{b}{ac}-2\right)+a+b+c-\sqrt{3(ab+ac+bc)}\geq0$

Đúng bởi $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-2>0;\frac{1}{a}+\frac{b}{ac}-2\geq\frac{1}{a}+\frac{1}{a}-2>0$ và

$a+b+c-\sqrt{3(ab+ac+bc)}=\frac{(a-b)^2+(c-a)(c-b)}{a+b+c+\sqrt{3(ab+ac+bc)}}\geq0$

BĐT đã được c/m. Vậy $M_{Min}=\sqrt{3}-2\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

P/s: Nhìn qua thấy ngon mà làm mới thấy thật sự là "choáng"

MT

Mi Trần

12 tháng 7 2016

Cho $\frac{a-\left(c-b\right)}{b-c}+\frac{b-\left(a-c\right)}{c-a}+\frac{c-\left(b-a\right)}{a-b}=3$.

Chứng minh rằng $\frac{a}{\left(b-c\right)^2}+\frac{b}{\left(c-a\right)^2}+\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=0$

2

HL

Hoàng Lê Bảo Ngọc

13 tháng 7 2016

Ta có : $\frac{a-\left(c-b\right)}{b-c}+\frac{b-\left(a-c\right)}{c-a}+\frac{c-\left(b-a\right)}{a-b}=3$

$\Leftrightarrow\frac{a+\left(b-c\right)}{b-c}-1+\frac{b+\left(c-a\right)}{c-a}-1+\frac{c+\left(a-b\right)}{a-b}-1=0$

$\Leftrightarrow\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0$

$\Rightarrow\left(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}\right)\left(\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}+\frac{1}{a-b}\right)=0$

$\Leftrightarrow\frac{a}{\left(b-c\right)^2}+\frac{b}{\left(a-c\right)^2}+\frac{c}{\left(a-b\right)^2}+\frac{a+b}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}+\frac{a+c}{\left(b-c\right)\left(a-b\right)}+\frac{b+c}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}=0$

$\Leftrightarrow\frac{a}{\left(b-c\right)^2}+\frac{b}{\left(c-a\right)^2}+\frac{c}{\left(a-b\right)^2}+\frac{a^2-b^2+c^2-a^2+b^2-c^2}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=0$

$\Leftrightarrow\frac{a}{\left(b-c\right)^2}+\frac{b}{\left(c-a\right)^2}+\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=0$

N

nguyentancuong

13 tháng 7 2016

Từ gt ta có : $\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0$0

Từ đó suy ra điều phải chứng minh