Question

[Trung Hiếu]

cho tam giác ABC . trên BC lấy M, N sao cho góc  MAB=NAC. chứng minh (MB.NB)/(MC.NC)=(AB/AC)^2

Answer 1

[Ngọc Huy]

Ai vào giải bài này đi !!

Answer 2

[Kiệt Nguyễn]

Lỡ xóa Sketpad rồi nên vẽ hình trên này! 

Vẽ đường tròn tâm K ngoại tiếp tam giác AMN.

Gọi E, F lần lượt là các giao điểm thứ hai của AB và AC với đường tròn (K)

Ta có: \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\); suy ra \(ME=NF\).Từ đó ta có:

Tứ giác MNFE là hình thang cân. Do đó FE // BC

Suy ra \(\frac{EB}{AB}=\frac{FC}{AC}\Leftrightarrow\frac{FB}{FC}=\frac{AB}{AC}\)(1)

Ta có: \(\widehat{A_1}=\widehat{BNE}\). Nên \(\Delta BMA~\Delta BEN\)\(\Rightarrow\frac{MB}{EB}=\frac{AB}{NB}\Leftrightarrow MB.NB=EB.AB\)(2)

Tương tự ta có: \(\widehat{A_2}=\widehat{CMF}\)nên \(\Delta CAN~\Delta CFM\)

Suy ra \(\frac{MC}{FC}=\frac{AC}{NC}\Leftrightarrow MC.NC=FC.AC\left(3\right)\)

Từ (2) và (3) ta có: \(\frac{MB.NB}{MC.NC}=\frac{EB.AB}{FC.AC}\)(4)

Từ (1) và (4) suy ra \(\frac{MB.NB}{MC.NC}=\left(\frac{AB}{AC}\right)^2\)(đpcm)