Question

[Nguyễn Ngọc Ánh]

Cho tam giác ABC; M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC. Các đoạn thẳng BN và CM cắt nhau tại G. Nối A với G kéo dài cắt BC tại P. Chứng tỏ các tam giác GMA, GMB, GNA, GNC, GPB, GPC có diện tích bằng nhau.( giúp mik với ) 

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

Hai tg GMA và tg GMB có chung đường cao từ G->AB nên và MA=MB nên

\(S_{GMA}=S_{GMB}\) (1)

Tương tự ta cũng có \(S_{GNA}=S_{GNB}\) (2)

Hai tg AMC và tg ABC có chung đường cao tà C->AB nên

\(\dfrac{S_{AMC}}{S_{ABC}}=\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow S_{AMC}=\dfrac{1}{2}xS_{ABC}\)

Hai tg ANB và tg ABC có chung đường cao từ B->AC nên

\(\dfrac{S_{ANB}}{S_{ABC}}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow S_{ANB}=\dfrac{1}{2}xS_{ABC}\)

\(\Rightarrow S_{AMC}=S_{ANB}\) Hai tg này có phần diện tích chung là \(S_{AMGN}\Rightarrow S_{GMB}=S_{GNC}\) (3)

Từ (1) (2) (3) \(\Rightarrow S_{GMA}=S_{GMB}=S_{GNA}=S_{GNC}\) (4)

\(\Rightarrow S_{GMA}+S_{GMB}=S_{GNA}+S_{GNC}\Rightarrow S_{ABG}=S_{ACG}\)

Hai tg ABG và tg ACG có chung AG nên 

đường cao từ B->AP = đường cao từ C->AP

Hai tg GPB và tg GPC có chung GP và đường cao từ B->AP = đường cao từ C->AP nên

\(S_{GPB}=S_{GPC}\) (5)

Hai tg GPB và tg GPC có chung đường cao từ G->BC nên

\(\dfrac{S_{GPB}}{S_{GPC}}=\dfrac{BP}{CP}=1\Rightarrow BP=CP\)

Hai tg APB và tg ABC có chung đường cao từ A->BC nên

\(\dfrac{S_{ABP}}{S_{ABC}}=\dfrac{BP}{BC}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow S_{ABP}=\dfrac{1}{2}xS_{ABC}\)

\(S_{BMC}=S_{ABC}-S_{AMC}=S_{ABC}-\dfrac{1}{2}xS_{ABC}=\dfrac{1}{2}xS_{ABC}\)

\(\Rightarrow S_{APB}=S_{BMC}\) Hai tg này có phần diện tích chung là \(S_{BMGP}\Rightarrow S_{GMA}=S_{GPC}\) (6)

Từ (4) (5) (6) \(\Rightarrow S_{GMA}=S_{GMB}=S_{GNA}=S_{GNC}=S_{GPB}=S_{GPC}\)