Cho x,y,z>0 thỏa mãn x+y+z=1. CMR: x^4+y^4/x^3+y^3 + y^4+z^4/y^3+z^3 + z^4+x^4/z^3+x^3 >=1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
14 tháng 5 2018
Ta dễ dàng chứng minh BĐT
\(x^4+y^4\ge x^3y+xy^3\)
\(\Rightarrow2\left(x^4+y^4\right)\ge x^4+y^4+x^3y+xy^3=\left(x+y\right)\left(x^3+y^3\right)\)
\(\Rightarrow\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\ge\frac{x+y}{2}\)
Chứng minh tương tự, cộng theo vế, ta có:
\(\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}+\frac{y^4+z^4}{y^3+z^3}+\frac{z^4+x^4}{z^3+x^3}\ge\frac{x+y}{2}+\frac{y+z}{2}+\frac{z+x}{2}=\frac{2\left(x+y+z\right)}{2}=2\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1/3
20 tháng 12 2017
Trước tiên chứng minh:
\(a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)(đúng)
\(\Rightarrow2\left(a^4+b^4\right)\ge a^4+b^4+a^3b+ab^3=\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)
Áp dụng bài toán được
\(P=\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}+\frac{y^4+z^4}{y^3+z^3}+\frac{z^4+x^4}{z^3+x^3}\)
\(\ge\frac{1}{2}\left(x+y+y+z+z+x\right)=x+z+y=2018\)
KN
29 tháng 1 2020
Ta có: \(4^x.4^y.4^z=4^{x+y+z}=4^0=1\)
Áp dụng BĐT cô - si cho 4 số dương:
\(3+4^x=1+1+1+4^x\ge4\sqrt[4]{4^x}\)\(\Rightarrow\sqrt{3+4^x}\ge2\sqrt{\sqrt[4]{4^x}}=2\sqrt[8]{4^x}\)
Tương tự ta có: \(\sqrt{3+4^y}\ge2\sqrt[8]{4^y}\);\(\sqrt{3+4^z}\ge2\sqrt[8]{4^z}\)
\(VT=\text{Σ}_{cyc}\sqrt{3+4^x}=2\left[\sqrt[8]{4^x}+\sqrt[8]{4^y}+\sqrt[8]{4^z}\right]\)
\(\ge2.3\sqrt[3]{\sqrt[8]{4^x.4^y.4^z}}=6\)
(Dấu "="\(\Leftrightarrow x=y=z=0\))
