Question

[Quỳnh Như]

Qua điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC của
đường tròn ( B và C là các tiếp điểm). Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng AC, F là
giao điểm thứ hai của đường thẳng EB với đường tròn (O), K là giao điểm thứ hai của
đường thẳng AF với đường tròn (O). Chứng minh:
a) Tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp và tam giác ABF đồng dạng với tam giác AKB;
b) BF .CK = CF . ; BK
c) Tam giác FCE đồng dạng với tam giác CBE và EA là tiếp tuyến của đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABF.

Answer 1

[Nguyễn Ngọc Anh Minh]

a/ Ta có B và C cùng nhìn AO dưới 1 góc vuông nên B và C cùng nằm trên đường tròn đường kính AO => ABOC là tứ giác nội tiếp

b/ 

Xét tg ABF và tg AKB có

\(\widehat{BAK}\) chung

\(sđ\widehat{ABF}=\dfrac{1}{2}sđ\) cung BF (góc giữa tiếp tuyến và dây cung)

\(sđ\widehat{AKB}=\dfrac{1}{2}sđ\) cung BF (góc nội tiếp)

\(\Rightarrow\widehat{ABF}=\widehat{AKB}\)

=> tg ABF đồng dạng với tg AKB (g.g.g)

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AK}=\dfrac{BF}{BK}\) (1)

Tương tự ta cũng c/m được tg ACF đồng dạng với tg AKC

\(\Rightarrow\dfrac{AC}{AK}=\dfrac{CF}{CK}\) (2)

Mà AB=AC (hai tiếp tuyến cùng xp từ 1 điểm ngoài đường tròn thì khoảng cách từ điểm đó đến 2 tiếp điểm bằng nhau) (3)

Từ (1) (2) (3) \(\Rightarrow\dfrac{BF}{BK}=\dfrac{CF}{CK}\Rightarrow BF.CK=CF.BK\) (đpcm)

c/

Xét tg FCE và tg BCE có

\(\widehat{BEC}\) chung

\(sđ\widehat{FCE}=\dfrac{1}{2}sđ\) cung CF (góc giữa tiếp tuyến và dây cung)

\(sđ\widehat{EBC}=\dfrac{1}{2}sđ\) cung CF (góc nội tiếp)

\(\Rightarrow\widehat{FCE}=\widehat{EBC}\)

=> tg FCE đồng dạng với tg BCE (g.g.g)