Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp (O;R). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Các đường thẳng BE và CF cắt đường tròn (O;R) tại Q và K. Gọi I là trung điểm BC, chứng minh I thuộc đường trong ngoại tiếp tam giác DEF
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
10 tháng 5 2021
llllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllloooooooooooooooonnnnnnnnnnnnnnnnnn
AH
Akai Haruma
Giáo viên
10 tháng 5 2021
Lời giải:
a) Vì $SB, SC$ là tiếp tuyến $(O)$ nên $SB\perp OB, SC\perp OC$
$\Rightarrow \widehat{OBS}=\widehat{OCS}=90^0$
Tứ giác $SBOC$ có tổng 2 góc đối nhau $\widehat{OBS}+\widehat{OCS}=90^0+90^0=180^0$ nên $SBOC$ là tứ giác nội tiếp.
b)
$\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^0$ và cùng nhìn cạnh $BC$ nên $BFEC$ là tứ giác nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{IFB}=\widehat{AFE}=\widehat{ACB}(1)$
Mà:
$\widehat{IBF}=\widehat{IBA}=\widehat{ACB}(2)$ (góc nt tạo bởi tiếp tuyến và dây cung thì bằng góc nội tiếp chắn cung đó)
Từ $(1);(2)\Rightarrow \widehat{IFB}=\widehat{IBF}$
$\Rightarrow \triangle IFB$ cân tại $I$
$\Rightarrow IF=IB$
c)
$\widehat{FAK}=\widehat{BAO}=\frac{180^0-\widehat{AOB}}{2}=90^0-\widehat{ACB}=\widehat{CAD}(3)$
$\widehat{AFK}=\widehat{AFE}=\widehat{ACB}=\widehat{ACD}(4)$
Từ $(3);(4)\Rightarrow \triangle AFK\sim \triangle ACD$ (g.g)
$\Rightarrow \frac{AF}{AC}=\frac{FK}{CD}(*)$
Mặt khác:
Dễ thấy $\triangle AFE\sim \triangle ACB$ (g.g)
$\Rightarrow \frac{AF}{AC}=\frac{FE}{CB}(**)$
Từ $(*);(**)\Rightarrow \frac{FK}{CD}=\frac{EF}{BC}$
$\Rightarrow FK.BC=EF.CD$ (đpcm)
1 tháng 2 2023
a: Xét tứ giác AEHF có
góc AEH+góc AFH=180 độ
=>AEHF là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác BFEC có
góc BFC=góc BEC=90 độ
=>BFEC là tứ giác nội tiếp
b: Xét (O) có
ΔABK nội tiếp
AK là đường kính
=>ΔABK vuông tại B
=>BK//CH
Xét (O) có
ΔACK nội tiếp
AK là đường kính
=>ΔACK vuông tại C
=>CK//BH
Xét tứ giác BHCK có
BH//CK
BK//CH
=>BHCK là hình bình hành
=>BC cắt HK tại trung điểm của mỗi đường
=>I là trung điểm của BC
xét tứ giác BFHD có
góc BFH + góc BDH = 180
mà nó là 2 góc đối => nội tiếp => góc FDH = góc FBE
chứng minh tương tự với tứ giác CEHD
=> góc HDE = góc HCE
Xét tứ giác BFEC có
góc BFC = góc BEF = 90
mà nó là 2 góc kề => tứ giác nội tiếp
mà góc BEC = 1/2 sđ BC = 90 => SĐ BC = 180 => BC là đường kính mà I là trung điểm BC => I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BFEC
=> góc FIE = góc FBE + góc FCE
=> Góc FIE = góc FDH+góc HDE => góc FIE = góc FDE
mà nó là 2 góc kề => nội tiếp
=> điều phải cm