Question

[Trương Thị Khánh An]

Trắc nghiệm nè !!!!

 Chứng minh:

\(\sqrt{2}\)là số vô tỉ

                 THỂ HIỆN SỰ THÔNG MINH CỦA MÌNH ĐI NÀO!!!!!!!!!!!!

                                BYE! REMEMBER YOURSELVES - AN 

Answer 1

[Sát Long Nhân Natsu]

Giả sử  \(\sqrt{2}\)  là số hữu tỉ thì có đc viết dưới dạng:

\(\)        \(\sqrt{2}\)=m/n vớ m,n thuộc N, (m,n)=1

Do 2 ko phải là có chính phương nên m/n ko là số tự nhiên, do đó n>1

Ta có m² =15n² . Gọi p là ước nguyên tos nào đó của n, thế thì m² chia hết cho p, do đó m chia hết cho p. Nhứ vạy p là ước nguyên tố của m và n, trái với (m,n)=1

Vậy  \(\sqrt{2}\)   ko phải là số hữu tỉ

Answer 2

[Trương Thị Khánh An]

       Giả sử rằng {\displaystyle {\sqrt {2}}} là một số hữu tỉ. Điều đó có nghĩa là tồn tại hai số nguyên a và b sao cho a / b = {\displaystyle {\sqrt {2}}}.

       Như vậy {\displaystyle {\sqrt {2}}} có thể được viết dưới dạng một phân số tối giản (phân số không thể rút gọn được nữa): a / b với a, b là hai số nguyên tố cùng nhau và (a / b)² = 2.

       Từ (2) suy ra a² / b² = 2 và a² = 2 b².

       Khi đó a² là số chẵn vì nó bằng 2 b² (hiển nhiên là số chẵn)

    Từ đó suy ra a phải là số chẵn vì a² là số chính phương chẵn (số chính phương lẻ có căn bậc hai là số lẻ, số chính phương chẵn có căn bậc hai là số chẵn).

Vì a là số chẵn, nên tồn tại một số k thỏa mãn: a = 2k.

1. Thay (6) vào (3) ta có: (2k)² = 2b² {\displaystyle \Leftrightarrow } 4k² = 2b² {\displaystyle \Leftrightarrow } 2k² = b².
2. Vì 2k² = b² mà 2k² là số chẵn nên b² là số chẵn, điều này suy ra b cũng là số chẵn [lí luận tương tự như (5)].
3. Từ (5) và (8) ta có: a và b đều là các số chẵn, điều này mâu thuẫn với giả thiết a / b là phân số tối giản ở (2).

Từ mâu thuẫn trên suy ra: thừa nhận {\displaystyle {\sqrt {2}}} là một số hữu tỉ là sai và phải kết luận {\displaystyle {\sqrt {2}}} là số vô tỉ.

#Cách chứng minh trên có thể được tổng quát hóa để chứng rằng: "căn bậc hai của một số tự nhiên bất kì hoặc là một số nguyên hoặc là một số vô tỉ."