cho a,b,c là các các cạnh của 1 tam giác p là nửa chu vi CMR 1/(p-a)+1/(p-b)+1/(p-c) >= 291/a+1/b+1/c)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
ML
20 tháng 11 2015
\(\Leftrightarrow2\left(p-a\right).2\left(p-b\right).2\left(p-c\right)\le abc\)
\(\Leftrightarrow\left(2p-2a\right)\left(2p-2b\right)\left(2p-2c\right)\le abc\)
\(\Leftrightarrow\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)\le abc\)
Đặt \(a+b-c=x;\text{ }b+c-a=y;\text{ }c+a-b=z\)
Thì \(a=\frac{x+z}{2};\text{ }b=\frac{y+x}{2};\text{ }c=\frac{z+y}{2}\)
Nên cần chứng minh:
\(xyz\le\frac{1}{8}\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)
Điều này là hiển nhiên khi ta áp dụng bđt Côsi cho VP.
Vậy ta có đpcm.
TN
20 tháng 2 2018
a) Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) ta có:
\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\ge\frac{4}{2p-a-b}=\frac{4}{a+b+c-a-b}=\frac{4}{c}\left(p=\frac{a+b+c}{2}\right)\)
Tương tự rồi cộng theo vế:
\(2VT\ge\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}=2VP\Leftrightarrow VT\ge VP\)
Dấu "=" khi \(a=b=c\)
b)sai đề
14 tháng 4 2018
Do p là nửa chu vi tam giác nên \(2p=a+b+c\)
Ta có bổ đề sau: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Áp dụng vào bài toán:
\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\ge\frac{4}{p-a+p-b}=\frac{4}{2p-a-b}=\frac{4}{c}\)
Tương tự: \(\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{a},\)\(\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-a}\ge\frac{4}{b}\)
\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\right)\ge\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}=4\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)(đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c.
21 tháng 8 2015
Ta sẽ áp dụng BĐT sau vào bài tập này \(\frac{a^2}{m}+\frac{b^2}{n}+\frac{c^2}{p}\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{m+n+p}\)dấu "=" xảy ra khi \(\frac{a}{m}=\frac{b}{n}=\frac{c}{p}\)
Ta có \(p-a=\frac{a+b+c}{2}-a=\frac{a+b+c-2a}{2}\)\(\Leftrightarrow\)\(p-a=\frac{b+c-a}{2}\)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{p-a}=\frac{2}{b+c-a}\).Tương tự\(\frac{1}{p-b}=\frac{2}{a+c-b}\);\(\frac{1}{p-c}=\frac{2}{b+a-c}\)
nên \(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}=2\left(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c}\right)\)
Áp dụng BĐT trên ta có \(\frac{1}{b+c-a}=\frac{\left(1+1-1\right)^2}{b+c-a}\ge\frac{1}{c}+\frac{1}{b}-\frac{1}{a}\);\(\frac{1}{a+c-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{c}-\frac{1}{b}\);\(\frac{1}{a+b-c}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\)
Vậy \(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\right)\)
Kết bạn với mình có gì tiện hỏi nhau nha có gì khó cứ gửi
8 tháng 10 2017
bài này cũng gần giống nè giúp mk vs
cho a b c là độ dài 3 cạnh tam giác p là nửa chu vi ab/(p-c) + bc/(p-a) + ca/(p-b)>=4p
25 tháng 4 2016
Dễ dàng chứng minh bất đẳng thức phụ : 1a+1b≥4a+b∀a;b>01a+1b≥4a+b∀a;b>0
Và p−a;p−b;p−c>0p−a;p−b;p−c>0 theo bất đẳng thức trong tam giác.
Áp dụng bất đẳng thức phụ vừa chứng minh, ta có:
1p−a+1p−b≥42p−a−b=4c1p−a+1p−b≥42p−a−b=4c (1)(1)
1p−b+1p−c≥42p−b−c=4a1p−b+1p−c≥42p−b−c=4a (2)(2)
1p−c+1p−a≥42p−c−a=4b1p−c+1p−a≥42p−c−a=4b (3)(3)
Cộng 1;2;31;2;3 vế theo vế, ta được:
2(1p−a+1p−c+1p−c)≥4(1a+1b+1c)2(1p−a+1p−c+1p−c)≥4(1a+1b+1c)
