Question

[Thai Minh Nguyen]

Cho hình vuông ABCD có tâm O. K và N lần lượt là trung điểm của AB và BC. F là trung điểm của NC. Đường thẳng kẻ từ A và song song với KF cắt CD tại G. Chứng minh rằng GF là tiếp tuyến của đường tròn tâm O nội tiếp hình vuông ABCD.

Hình: http://imgur.com/a/g1HC3

Answer 1

[Đặng Ngọc Quỳnh]

Kẻ OI vuông góc với FG tại I. Ta chứng minh OI=OM =a/2 (a là cạnh của hình vuông)

KHI đó GF tiếp xúc với đường tròn tại I

Hai tam giác vuông ADG và  FBK có:

\(\widehat{DAG}=\widehat{KFB}\)( \(\widehat{A_1}+\widehat{A_2}=90^0\Rightarrow\widehat{A_1}+\widehat{K_1}=90^0\)MÀ \(\widehat{K_1}+\widehat{KFB}=90^0\))

\(\Rightarrow\Delta ADG~\Delta FBK\Rightarrow\frac{AD}{FB}=\frac{DG}{BK}\)

\(\Rightarrow DG=\frac{AD}{FB}.BK=\frac{a}{3a}.\frac{a}{2}=\frac{2a}{3}\)

Từ đó \(CG=\frac{a}{3};MG=\frac{a}{2}-\frac{a}{3}=\frac{a}{6}\)

Trong tam giác vuông CGF có:

\(GF^2=CF^2+CG^2=\frac{a^2}{16}+\frac{a^2}{9}=\frac{25a^2}{144}\Rightarrow CF=\frac{5a}{12}\)

Ta có: \(S_{OGF}=S_{OMCN}-\left(S_{ÒNF}+S_{OMG}+S_{CGF}\right)\)\(=\frac{a^2}{4}-\left(\frac{a^2}{16}+\frac{a^2}{24}+\frac{a^2}{24}\right)=\frac{5a^2}{48}\)(1)

Mặt khác: \(S_{OGF}=\frac{1}{2}.OI.GF=OI.\frac{5a}{24}\)(2)

Từ (1);(2) \(\Rightarrow\frac{5a^2}{48}=OI.\frac{5a}{24}\Rightarrow OI=\frac{a}{2}\)

Vậy GF tiếp xúc với đường tròn tâm O tại I

Answer 2

[Đặng Ngọc Quỳnh]

đánh dấu A₁ vào góc DAG , A2 vào góc BAC, K1 vào góc BKC. kẻ OM vuông góc DC, kẻ OG, kẻ OI vuông góc GF