Cho \(a,b\ne0\). Chứng minh: \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+4\ge3\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 3 2020
Bạn tham khảo:
Câu hỏi của tran duc huy - Toán lớp 10 | Học trực tuyến
S
30 tháng 8 2019
Đặt \(x^2=a\ge0;y^2=b\ge0\)
Ta có BĐT phụ:\(4ab\le\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(true\right)\)
Ta có:\(\frac{4ab}{\left(a+b\right)^2}+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)^2}+2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}}=3\) ( BĐT AM-GM )
Ta có đpcm
T
26 tháng 9 2019
Câu 2:
\(\frac{a^2b}{2a^3+b^3}-\frac{1}{3}+1-\frac{a^2+2ab}{2a^2+b^2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{2a^2+b^2}-\frac{\left(a-b\right)^2\left(2a+b\right)}{3\left(2a^3+b^3\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left[\frac{1}{2a^2+b^2}-\frac{\left(2a+b\right)}{3\left(2a^3+b^3\right)}\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2\left(a-b\right)^4\left(a+b\right)}{3\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^3+b^3\right)}\ge0\left(ok!\right)\)
Em tính/ quy đồng/ phân tích thành nhân tử sai chỗ nào thì chị tự check nhá:)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 2 2020
\(a+\frac{4}{b\left(a-b\right)^2}=a-b+b+\frac{4}{b\left(a-b\right)^2}\ge a-b+2\sqrt{\frac{4b}{b\left(a-b\right)^2}}=a-b+\frac{4}{a-b}\ge4\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=1\end{matrix}\right.\)
b/ \(a-b+\frac{4}{\left(a-b\right)\left(b+1\right)^2}+b\ge2\sqrt{\frac{4\left(a-b\right)}{\left(a-b\right)\left(b+1\right)^2}}+b=\frac{4}{b+1}+b+1-1\ge4-1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=1\end{matrix}\right.\)
28 tháng 7 2016
1) \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a-c}{b-d}\)
-->\(\frac{a}{b}=\frac{a-c}{b-d}\left(đpcm\right)\)
2) ta có \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)
đặt a=kb và c=kd
\(\frac{a+b}{a-b}=\frac{kb+b}{kb-b}=\frac{b\left(k+1\right)}{b\left(k-1\right)}=\frac{k+1}{k-1}\left(1\right)\)
\(\frac{c+d}{c-d}=\frac{kd+d}{kd-d}=\frac{d\left(k+1\right)}{d\left(k-1\right)}=\frac{k+1}{k-1}\left(2\right)\)
từ (1) và (2) --> \(\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}\left(đpcm\right)\)
Ta có : \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+4\ge3\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\)(1) . Đặt \(x=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\)
\(\Rightarrow\left|x\right|=\left|\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right|=\left|\frac{a}{b}\right|+\left|\frac{b}{a}\right|\ge2\) \(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x\ge2\\x\le-2\end{cases}}\)
bpt (1) \(\Leftrightarrow\left(x^2-2\right)+4\ge3x\Leftrightarrow x^2-3x+2\ge0\)
Xét bất phương trình sau : \(y^2-3y+2\ge0\Leftrightarrow\left(y-1\right)\left(y-2\right)\ge0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y\ge2\\y\le1\end{cases}}\)
Từ \(\orbr{\begin{cases}x\ge2\\x\le-2\end{cases}}\) suy ra x nằm trong miền nghiệm của bất phương trình đang xét , vậy x phải thỏa mãn \(y^2-3y+2\ge0\), tức là \(x^2-3x+2\ge0\)đúng.
Suy ra (1) đúng. Vậy ta có đpcm
+TH1: a, b trái dấu \(\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\le0\)
\(\Rightarrow VT>0\ge VP\), bất đẳng thức luôn đúng
+TH2: a, b cùng dấu \(\Rightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\left|\frac{a}{b}\right|+\left|\frac{b}{a}\right|\ge2\sqrt{\left|\frac{a}{b}\right|.\left|\frac{b}{a}\right|}=2\)
bđt \(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)^2+2\ge3\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\)
Đặt \(t=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
Cần chứng minh \(t^2+2\ge3t\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(t-2\right)\ge0\text{ }\left(\text{đúng }\forall t\ge2\right)\)