Cho 3 số không âm a, b, c có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: a+2b+c≥≥ 4(1-a)(1-b)(1-c)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
17 tháng 10 2017
Ta có:
\(4\left(1-a\right)\left(1-c\right)\left(1-b\right)\le4\left(1-b\right).\frac{\left(1-a+1-c\right)^2}{4}\)
\(=\left(1-b\right)\left(2-a-c\right)^2=\left(1-b\right)\left(a+2b+c\right)^2\)
\(=\left(1-b\right)\left(a+2b+c\right)\left(a+2b+c\right)\)
\(\le\left(a+2b+c\right).\frac{\left(a+2b+c+1-b\right)^2}{4}\)
\(=\left(a+2b+c\right).\frac{\left(a+b+c+1\right)^2}{4}\)
\(=\left(a+2b+c\right).\frac{4}{4}=a+2b+c\)
Dấu = xảy ra khi:
\(\hept{\begin{cases}1-a=1-c\\a+2b+c=1-b\\a+b+c=1\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=c=\frac{1}{2}\\b=0\end{cases}}\)
KB
14 tháng 6 2021
Thấy : \(a;b;c\ge0;a+b+c=1\) \(\Rightarrow1-a;1-b;1-c\ge0\)
AD BĐT AM - GM ta được : \(4\left(1-a\right)\left(1-c\right)\le\left(2-a-c\right)^2=\left[2-\left(1-b\right)\right]^2=\left(b+1\right)^2\)
\(\Rightarrow4\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\le\left(1-b\right)\left(b+1\right)^2=\left(1-b^2\right)\left(b+1\right)\le1.\left(b+1\right)=b+1=b+\left(a+b+c\right)=a+2b+c\)
( đpcm )
7 tháng 8 2021
Xét \(VT=a+2b+c=1+b\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT AG-GM:
\(4\left(1-a\right)\left(1-c\right)\le\left(1-a+1-c\right)^2=\left(2-a-c\right)^2=\left(1+a+b+c-a-c\right)^2=\left(1+b\right)^2\left(2\right)\)
\(\Rightarrow4\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\le\left(1-b\right)\left(1+b\right)^2\)
Mà \(\left(1-b\right)\left(1+b\right)^2-\left(1-b\right)=\left(1+b\right)\left(1-b^2-1\right)=-b^2\left(1+b\right)\le0,\forall b\ge0\)
Do đó \(\left(1-b\right)\left(1+b\right)^2\le1+b\left(3\right)\)
Từ \(\left(1\right)\left(2\right)\left(3\right)\) ta có ĐPCM
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=c=\dfrac{1}{2};b=0\)
Áp dụng BĐT Cosi cho 2 số không âm 1-a và 1-c có:
4(1-a)(1-c) =<(1-a+1-c)^2=(1+b)^2
Ta có: 4(1-a)(1-b)(1-c)=<(1+b)^2(1-b)=(1-b^2)(1+b)=<1+b=a+2b+c(đpcm)
Dấu = xảy ra khi b=0;a=c=1/2