Question

[Phạm Kim Oanh]

Trên hệ trục tọa độ  Oxy,   cho hình vuông  ABCD.  Gọi M là 1 điểm thuộc đoạn thẳng  CD sao cho  \(\overrightarrow{MC}=2.\overrightarrow{DM}\).  Gọi N là trung điểm của đoạn thẳng  BC và tọa độ của N là: \(N\left(0;2019\right)\).
 Gọi K là  giao điểm của  2 đường thẳng  AM và  BD.  Biết đường thẳng  AM có phương trình là : \(x-10y+2018=0\).  Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng NK ?
P/s:  Em xin phép nhờ quý thầy cô và các bạn giúp đỡ bài toán trong đề cương  của trường  THPT  Việt Nam -- Ba Lan ( Thành phố  Hà Nội )

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Talet: \(\dfrac{KM}{AK}=\dfrac{DM}{AB}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow KM=\dfrac{1}{3}AK\Rightarrow KM=\dfrac{1}{4}AM\Rightarrow\overrightarrow{KM}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AM}\) 

Mà \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{AD}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\Rightarrow\overrightarrow{KM}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AD}+\dfrac{1}{12}\overrightarrow{AB}\)

\(\overrightarrow{KN}=\overrightarrow{KM}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CN}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AD}+\dfrac{1}{12}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}\)

\(=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AD}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{KN}=\left(\overrightarrow{AD}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\right)\left(\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AD}\right)=\dfrac{1}{4}AB^2-\dfrac{1}{4}AD^2=0\)

\(\Rightarrow AM\perp KN\Rightarrow\) đường thẳng KN nhận (10;1) là 1 vtpt

Phương trình NK:

\(10\left(x-0\right)+1\left(y-2019\right)=0\Leftrightarrow10x+y-2019=0\)

\(d\left(O;NK\right)=\dfrac{\left|-2019\right|}{\sqrt{10^2+1^2}}=\dfrac{2019}{\sqrt{101}}\)

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]