Question

[Anime]

Tìm GTNN, GTLN của biểu thức \(A=\frac{6x+8}{x^2+1}\)

Answer 1

[✎﹏ミ★꧁༺вєѕт↭ℓαυяιєℓ↭νи༻꧂★ミ.༻(Trưở...]

Ta có:

\(A=\frac{6x+8}{x^2+1}=\frac{\left(x^2+6x+9\right)-\left(x^2+1\right)}{x^2+1}=\frac{\left(x+3\right)^2}{\left(x+1\right)^2}-1\)

ta có:  \(\frac{\left(x+3\right)^2}{\left(x+1\right)^2}=\left(\frac{x+3}{x+1}\right)^2\ge0\forall x\ne-1\)

\(\Rightarrow A=\frac{\left(x+3\right)^2}{\left(x+1\right)^2}-1\ge-1\forall x\ne-1\)

dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow\left(x+3\right)^2=0\Leftrightarrow x=-3\)

vậy \(MinA=-1\Leftrightarrow x=-3\)

Answer 2

[Lê Song Phương]

Mình khuyên bạn nên làm cách thứ 2 (cách thứ nhất là của lớp 9)

Cách 1: Nhận thấy \(x^2+1\ne0\)nên ta có \(A=\frac{6x+8}{x^2+1}\)\(\Leftrightarrow A\left(x^2+1\right)=6x+8\)\(\Leftrightarrow Ax^2-6x+A-8=0\)(*)

Ta có \(\Delta'=\left(-3\right)^2-A\left(A-8\right)=9-A^2+8A\)

Để pt (*) có nghiệm thì \(\Delta'\ge0\)hay \(9-A^2+8A\ge0\)\(\Leftrightarrow A^2-8A-9\le0\)\(\Leftrightarrow A^2+A-9A-9\le0\)\(\Leftrightarrow A\left(A+1\right)-9\left(A+1\right)\le0\)\(\Leftrightarrow\left(A+1\right)\left(A-9\right)\le0\)

Ta xét 2 trường hợp:

TH1: \(\hept{\begin{cases}A+1\ge0\\A-9\le0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}A\ge-1\\A\le9\end{cases}}\Leftrightarrow-1\le A\le9\)(nhận)

TH2: \(\hept{\begin{cases}A+1\le0\\A-9\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}A\le-1\\A\ge9\end{cases}}\)(loại)

Vậy GTNN của A là \(-1\)khi \(\frac{6x+8}{x^2+1}=-1\Leftrightarrow x^2+1=-6x-8\Leftrightarrow x^2+6x+9=0\Leftrightarrow\left(x+3\right)^2=0\Leftrightarrow x=-3\)

GTLN của A là \(9\)khi \(\frac{6x+8}{x^2+1}=9\Leftrightarrow9\left(x^2+1\right)=6x+8\Leftrightarrow9x^2-6x+1=0\Leftrightarrow\left(3x-1\right)^2=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}\)

Cách 2: Ta có \(A=\frac{6x+8}{x^2+1}=\frac{-\left(x^2+1\right)+\left(x^2+6x+9\right)}{x^2+1}=\frac{\left(x+3\right)^2}{x^2+1}-1\)

Vì \(\left(x+3\right)^2\ge0;x^2+1>0\)\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+3\right)^2}{x^2+1}\ge0\)\(\Leftrightarrow A\ge-1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x+3=0\Leftrightarrow x=-3\)

Mặt khác \(A=\frac{6x+8}{x^2+1}=\frac{9\left(x^2+1\right)-\left(9x^2-6x+1\right)}{x^2+1}=9-\frac{\left(3x-1\right)^2}{x^2+1}\)

Vì \(\left(3x-1\right)^2\ge0;x^2+1>0\)\(\Leftrightarrow\frac{\left(3x-1\right)^2}{x^2+1}\ge0\)\(\Leftrightarrow-\frac{\left(3x-1\right)^2}{x^2+1}\le0\)\(\Leftrightarrow A\le9\)

Dấu "=" xảy ra khi \(3x-1=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}\)

Vậy GTNN của A là \(-1\)khi \(x=-3\)

GTLN của A là \(9\)khi \(x=\frac{1}{3}\)