Question

[Nuyen Thanh Dang]

Cmr: \(2\sqrt{n+1}-2\sqrt{n}<\frac{1}{\sqrt{n}}<2\sqrt{n}-2\sqrt{n-1}\)

Từ đó suy ra: \(2004<1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+......+\frac{1}{\sqrt{1006009}}<2005\)

Answer 1

[Đinh Thùy Linh]

Với mọi n >1 ta đều có: \(\sqrt{n+1}>\sqrt{n}>\sqrt{n-1}>0\Rightarrow\sqrt{n+1}+\sqrt{n}>2\sqrt{n}>\sqrt{n}+\sqrt{n-1}>0\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}< \frac{1}{2\sqrt{n}}< \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}\)\(\Rightarrow\frac{\left(n+1\right)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}< \frac{1}{2\sqrt{n}}< \frac{n-\left(n-1\right)}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}\)

\(\Rightarrow\sqrt{n+1}-\sqrt{n}< \frac{1}{2\sqrt{n}}< \sqrt{n}-\sqrt{n-1}\)

\(\Rightarrow2\sqrt{n+1}-2\sqrt{n}< \frac{1}{\sqrt{n}}< 2\sqrt{n}-2\sqrt{n-1}\)đpcm.

Từ đó ta có:

\(2\sqrt{2}-2< \frac{1}{\sqrt{1}}=1;\)

\(2\sqrt{3}-2\sqrt{2}< \frac{1}{\sqrt{2}}< 2\sqrt{2}-2;\)

\(2\sqrt{4}-2\sqrt{3}< \frac{1}{\sqrt{3}}< 2\sqrt{3}-2\sqrt{2};\)

...

\(2\sqrt{1006010}-2\sqrt{1006009}< \frac{1}{\sqrt{1006009}}< 2\sqrt{1006009}-2\sqrt{1006008};\)

Cộng từng vế ta được:

\(2\sqrt{1006009}-2< 2\sqrt{1006010}-2< 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{1006009}}< 2\cdot1003-1\)

\(2004< 2\sqrt{1006010}-2< 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{1006009}}< 2005\)đpcm

Một bất đẳng thức HAY và rất chặt! 1 tổng các phân thức của căn thức bị chặn bởi 2 số tự nhiên liên tiếp!