Cho \(a,b,c>0\). Chứng minh rằng \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\) .
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
1
26 tháng 8 2017
Do a;b;c > 0 ; Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có :
\(a+b\ge2\sqrt{ab};b+c\ge2\sqrt{bc};c+a\ge2\sqrt{ac}\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ac}=8\sqrt{a^2b^2c^2}=8abc\) (đpcm)
7 tháng 5 2019
Vì \(a\ge0\),\(b\ge0\),\(c\ge0\),áp dụng bđt Cauchy cho 3 số dương a,b,c ta có
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)
\(c+a\ge2\sqrt{ac}\)
Nhân từng vế bđt trên =>đpcm
J
7 tháng 5 2019
\(\text{có:}\frac{k}{n}+\frac{n}{k}\ge2\Leftrightarrow\frac{k}{n}-2+\frac{n}{k}\ge0\Leftrightarrow\frac{k}{n}-2\sqrt{\frac{k}{n}}.\sqrt{\frac{n}{k}}+\frac{n}{k}\ge0\Leftrightarrow\left(\sqrt{\frac{k}{n}}-\sqrt{\frac{n}{k}}\right)^2\ge0\forall k,n>0\)
\(\left(a+b\right).\left(b+c\right).\left(c+a\right)\ge8abc\)
\(\Leftrightarrow\left(ab+ac+b^2+bc\right).\left(a+c\right)\ge8abc\)
\(\Leftrightarrow a^2b+a^2c+ab^2+abc+abc+ac^2+b^2c+bc^2\ge8abc\)
\(\Leftrightarrow2+\frac{a}{c}+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\ge8\)
\(\Leftrightarrow2+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)\ge8\)(luôn đúng với mọi a,b,c >=0)
F
29 tháng 7 2020
Dùng BĐT phụ:
\(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
Ta có:\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\left(b+c\right)^2\ge4bc\)
\(\left(c+a\right)^2\ge4ca\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)^2\left(b+c\right)^2\left(c+a\right)^2\ge64\left(abc\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
KN
29 tháng 7 2020
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz :
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)
\(c+a\ge2\sqrt{ca}\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\left(dpcm\right)\)
8 tháng 11 2019
1 ) \(â+b\ge2\sqrt{ab}\)
Tương tự : \(b+c\ge2\sqrt{bc}\)
\(c+a\ge2\sqrt{ca}\)
Nhân vế theo vế của 3 bpt dc dpcm
Dấu = xảy ra khi a = b = c
2) Nhân 2 vế bpt vs abc
Cm như 1)
3) \(a+2\ge2\sqrt{2a}\)
\(b+8\ge2\sqrt{8b}\)
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
Nhân vế theo vế của 3 bpt dc dpcm
Dấu = xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=8\\a=b\end{matrix}\right.\) (vô lí)
nên k xảy ra đẳng thức
KK
8 tháng 4 2017
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b\ge2\sqrt{ab}\\b+c\ge2\sqrt{bc}\\c+a\ge2\sqrt{ca}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\) ( đpcm )
Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\)
30 tháng 11 2019
*) ta có: \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(b+c\ge2\sqrt{bc}\)
\(a+c\ge2\sqrt{ac}\)
Nhân vế với vế của các BĐT trên,ta được: \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge8abc\)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
27 tháng 7 2021
Đặt vế trái là P:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:
\(\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\ge\sqrt{\left(\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\right)^2}=\sqrt{ab}+\sqrt{ac}\)
Tương tự với 2 biểu thức còn lại, ta được:
\(P\le\dfrac{a}{a+\sqrt{ab}+\sqrt{ac}}+\dfrac{b}{b+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}}+\dfrac{c}{c+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}}\)
\(P\le\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\dfrac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
27 tháng 7 2021
Bạn tham khảo ở đây nhé.
https://olm.vn/hoi-dap/detail/96898674827.html
T
1
3 tháng 12 2018
\(\left(a-1\right)^2;\left(b-1\right)^2;\left(c-1\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2+1\ge2a\\b^2+1\ge2b\\c^2+1\ge2c\end{matrix}\right.\)
Nhân theo vế:
\(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge8abc\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Sử dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương ta được
a+b\ge2\sqrt{ab}a+b≥2ab ; b+c\ge2\sqrt{bc}b+c≥2bc ; c+a\ge2\sqrt{ca}c+a≥2ca
Nhân theo vế ba bất đẳng thức này ta được đpcm.
Theo bất đẳng thức Cô si ta có : a+b ≥ \(2\sqrt{ab}\)
b+c ≥ \(2\sqrt{bc}\) , c+a ≥ \(2\sqrt{ac}\)
Nhân từng vế của 3 bất đẳng thức cho nhau ta được
(a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8\(\sqrt{(a)^{2}(b)^{2}(c)^{2}}\)
=> (a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc