cho:x>=1,y>=1: CM: \(x\sqrt{y-1}\) +\(y\sqrt{x-1}\) <= xy
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PD
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
5 tháng 12 2020
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+\sqrt{1+x^2}=a>0\\y+\sqrt{1+y^2}=b>0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{1+x^2}=a-x\\\sqrt{1+y^2}=b-y\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1+x^2=a^2-2ax+x^2\\1+y^2=b^2-2by+y^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2ax=a^2-1\\2by=b^2-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{a^2-1}{2a}\\y=\frac{b^2-1}{2b}\end{matrix}\right.\)
Thay vào biểu thức điều kiện đề bài:
\(\left(\frac{a^2-1}{2a}+\sqrt{1+\left(\frac{b^2-1}{2b}\right)^2}\right)\left(\frac{b^2-1}{2b}+\sqrt{1+\left(\frac{a^2-1}{2a}\right)^2}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a^2-1}{2a}+\sqrt{\left(\frac{b^2+1}{2b}\right)^2}\right)\left(\frac{b^2-1}{2b}+\sqrt{\left(\frac{a^2+1}{2a}\right)^2}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a^2-1}{2a}+\frac{b^2+1}{2b}\right)\left(\frac{b^2-1}{2b}+\frac{a^2+1}{2a}\right)=1\)
Với chú ý rằng: \(1=\frac{4ab}{4ab}=\frac{\left(a+b\right)^2-\left(a-b\right)^2}{4ab}\)
\(\Rightarrow\left[\frac{\left(a+b\right)}{2}-\left(\frac{1}{2a}-\frac{1}{2b}\right)\right]\left[\frac{a+b}{2}+\left(\frac{1}{2a}-\frac{1}{2b}\right)\right]=\frac{\left(a+b\right)^2-\left(a-b\right)^2}{4ab}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)^2=\frac{\left(a+b\right)^2-\left(a-b\right)^2}{ab}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-\frac{\left(a-b\right)^2}{\left(ab\right)^2}=\frac{\left(a+b\right)^2-\left(a-b\right)^2}{ab}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\left(1-\frac{1}{ab}\right)+\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\left(1-\frac{1}{ab}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(1-\frac{1}{ab}\right)\left[\left(a+b\right)^2+\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\right]=0\)
\(\Leftrightarrow1-\frac{1}{ab}=0\)
\(\Leftrightarrow ab=1\) (đpcm)
TN
29 tháng 5 2016
Cách 1:Ta có: \(2\left(1+a^2\right)\ge\left(1+a\right)^2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(1+a\right)^2}\ge\frac{1}{\left[2\left(1+a^2\right)\right]}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(1+x\right)^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{1}{\left[2\left(1+x^2\right)\right]}+\frac{1}{\left[2\left(1+y^2\right)\right]}\)
mà: \(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}=\frac{2+x^2+y^2}{1+x^2y^2+x^2+y^2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}=\frac{\left[2.\left(1+xy\right)+\left(x-y\right)^2\right]}{\left(1+xy\right)^2+\left(x-y\right)^2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge2.\frac{1+xy}{\left(1+xy\right)^2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left[2\left(1+x^2\right)\right]}+\frac{1}{\left[2\left(1+y^2\right)\right]}\ge\frac{1}{1+xy}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(1+x\right)^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{1}{1+xy}\)
NH
2
2 tháng 8 2017
ĐK \(\hept{\begin{cases}x>1\\y>1\end{cases}}\)
Ta có \(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{x-1}+x^2=\sqrt{y^2+5}+\sqrt{y-1}+y^2\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x^2+5}-\sqrt{y^2+5}\right)+\left(\sqrt{x-1}-\sqrt{y-1}\right)+\left(x^2-y^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2-y^2}{\sqrt{x^2+5}+\sqrt{y^2+5}}+\frac{x-y}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}+x^2-y^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left[\frac{x+y}{\sqrt{x^2+5}+\sqrt{y^2+5}}+\frac{1}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}+x+y\right]=0\)
\(\Leftrightarrow x=y\)vì \(\left(\frac{x+y}{\sqrt{x^2+5}+\sqrt{y^2+5}}+\frac{1}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}+x+y\right)>0\forall x,y>1\)
Vậy \(x=y\left(đpcm\right)\)
21 tháng 8 2020
ĐK \(x\ge1;y\ge1\)
Nếu x=y=1 thì x=y điều phải chứng minh
Nếu x,y không đồng thời bằng 1 thì bằng cách nhân với biểu thức liên hợp ta được
\(\sqrt{x^2+5}-\sqrt{y^2+5}+\sqrt{x-1}-\sqrt{y-1}+x^2-y^2=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2-y^2}{\sqrt{x^2+5}+\sqrt{y^2+5}}+\frac{x-y}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}+x^2-y^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left[\frac{x+y}{\sqrt{x^2+5}+\sqrt{y^2+5}}+\frac{1}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}+x+y\right]=0\)
Vì \(x\ge1;y\ge1\Rightarrow x-y=0\Rightarrow x-y\)điều phải chứng minh
1 tháng 3 2018
\(\frac{18\sqrt{2}}{3}=6\sqrt{2}\)
đặt mẫu số = Pain
áp dụng BDT cô si shaw ta có
\(\frac{1}{\sqrt{x\left(y+z\right)}}+\frac{1}{\sqrt{y\left(z+x\right)}}+\frac{1}{\sqrt{z\left(x+y\right)}}\ge\frac{9}{Pain}\)
áp dụng BDT cô si ta có ( thêm 2)
\(\sqrt{2x\left(y+z\right)}\le\frac{\left(2x+y+z\right)}{2}\)
\(\sqrt{2y\left(z+x\right)}\le\frac{\left(2y+z+x\right)}{2}\)
\(\sqrt{2z\left(x+y\right)}\le\frac{\left(2z+x+y\right)}{2}\)
+ lại và rút cái căn 2 ở VT và Tính VP ta được
\(\sqrt{2}\left(Pain\right)\le\frac{4}{2}\left(x+y+z\right)\) (x+y+z=18 căn 2)
\(\sqrt{2}\left(Pain\right)\le2\left(18.\sqrt{2}\right)\) ( rút gọn căn 2 với căn 2 )
\(Pain\le36\)
vì Pain năm ở dưới mẫu suy ra dấu \(\le\) thành dấu \(\ge\)
thay vào ta được
\(\frac{9}{Pain}\ge\frac{9}{36}=\frac{1}{4}\)
LC
13 tháng 6 2017
\(\frac{1}{\sqrt{xy}}\)<= {\(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)} : 2
Tương tư.....
=> DPCM
Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có : \(\sqrt{y-1}=\sqrt{\left(y-1\right).1}\le\sqrt{\frac{y^2}{4}}=\frac{y}{2}\)\(\Rightarrow x\sqrt{y-1}\le\frac{xy}{2}\)(1)
Tương tự ta có : \(y\sqrt{x-1}\le\frac{xy}{2}\)(2)
Cộng (1) và (2) theo vế ta được : \(x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}\le xy\)(đpcm)