tồn tại hay không các cặp số nguyên (x;y) sao cho (x-y)(x+y)=2010
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giả sử tồn tại các số nguyên dương x,y mà :
(x+y)(x-y)=2022 (1)
Không thể xảy ra trường hợp trong 2 số x và y có 1 số le và 1 số chẵn vì nếu xảy ra thì x+y va x-y đều là số lẻ nên tích (x+y)(x-y) là số lẻ trái với (1)
Vậy x,y phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ . Khi đó tích x+y và x-y đều là số chẵn nên tích (x+y)(x-y) chia hết cho 4 mà 2022 lại không chia hết cho 4 suy ra không tồn tại 2 số nguyên dương x và y
Ta có: \(\frac{2010}{x}-\frac{2010}{y}=\frac{2010y-2010x}{xy}\)
\(\Rightarrow\frac{2010\left(y-x\right)}{xy}=\frac{2010}{x-y}\)
\(\Rightarrow2010\left(y-x\right)\left(x-y\right)=2010xy\)
\(\Rightarrow\left(y-x\right)\left(x-y\right)=xy\)
Vậy ta có 4 trường hợp:
TH1: y-x=x
=> y=2x
=> x-y = âm => xy= âm ( loại)
TH2: y-x=y
=> x= 0 ( vì x, y dương)
=> x-y= âm => xy = âm ( loại)
TH3: x-y=y
=> x=2y
=> y-x = âm => xy = âm ( loại)
TH4: x-y=x
=> y = 0 ( vì x, y dương)
=> y-x= 0-x= âm => xy âm ( loại)
Từ 4 trường hợp trên \(\Rightarrow\) ko tồn tại x, y dương để \(\frac{2010}{x}-\frac{2010}{y}=\frac{2011}{x-y}\)
Ta có :
\(\frac{2010}{x}-\frac{2010}{y}=\frac{2011}{x-y}\Leftrightarrow2010\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)=2011.\frac{1}{x-y}\Leftrightarrow\frac{2010}{2011}=\frac{\frac{1}{x-y}}{\frac{1}{x}-\frac{1}{y}}\Leftrightarrow\frac{2010}{2011}=\frac{\frac{1}{x-y}}{\frac{x-y}{-xy}}\Leftrightarrow\frac{2010}{2011}=-\frac{xy}{\left(x-y\right)^2}\)
Xét vế trái (VT) : \(\frac{2010}{2011}>0\) ; Vế phải (VP) : \(-\frac{xy}{\left(x-y\right)^2}< 0\)với mọi x,y dương
=> VP < VT (vô lí)
Vậy : Không tồn tại các số x,y dương thỏa mãn đề bài.