đường tròn o và điểm I năm ngoài đường tròn. Từ I kẻ hai tiếp tuyến IA và IB với đường tròn (A,B là tiếp điểm). Kẻ đường kính BD và C là giao điểm của ID với đường tròn Oa) chứng minh tứ giác IAOB nội...

1

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

18 tháng 3 2021

a) Xét tứ giác IAOB có

$\widehat{IAO}$ và $\widehat{IBO}$ là hai góc đối

$\widehat{IAO}+\widehat{IBO}=180^0\left(90^0+90^0=180^0\right)$

Do đó: IAOB là tứ giác nội tiếp(Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp)

b) Xét (O) có

$\widehat{ADC}$ là góc nội tiếp chắn $\stackrel\frown{AC}$

$\widehat{IAC}$ là góc tạo bởi tiếp tuyến AI và dây cung AC

Do đó: $\widehat{ADC}=\widehat{IAC}$(Hệ quả góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)

hay $\widehat{IDA}=\widehat{IAC}$

Xét ΔIDA và ΔIAC có

$\widehat{IDA}=\widehat{IAC}$(cmt)

$\widehat{AIC}$ chung

Do đó: ΔIDA∼ΔIAC(g-g)

Suy ra: $\dfrac{ID}{IA}=\dfrac{IA}{IC}$(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay $IA^2=IC\cdot ID$(đpcm)

Cho ( O;R) và A ở ngoài đường tròn. qua A kẻ tiếp tuyến AB,AC và đường tròn (B,C là tiếp điểm) a) Chứng minh: ABOC là tứ giác nội tiếp b) Gọi H là giao điểm của BC và OA. Chứng minh: BC vuông góc OA c) Kẻ đường kính BD của đường tròn; kẻ CK vuông góc BD ( K thuộc BD). Chứng minh: CK.CD=AC.KD d) AD cắt CK ở I. Chứng minh: tam giác OKI đồng dạng tam giác...

NN

Nhật Nguyễn

3 tháng 5 2023

từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC đến đường tròn (O) (B,C là các tiếp điểm). Đường tròn I đường kính AB cắt BC tại H và cắt đường tròn O tại D (D khác B).b) gọi K là giao điểm của OI với BD. Chứng minh tứ giác AIKH nội tiếp.c) Đường tròn (I) cắt AC tại E. Gọi F là giao điểm của OA với BE. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác ABF đi qua điểm...

1

AA

an an tv

3 tháng 5 2023

ko bít

Đúng(0)

NV

Nguyễn Văn Tú

1 tháng 6 2018

1

NT

Nguyễn Tất Đạt

2 tháng 6 2018

b) Ta thấy (O) giao (I) tại 2 điểm B và D => BD vuông góc OI (tại K) => ^OKB=90⁰.

Xét đường tròn (I) đường kính AB có H thuộc cung AB => AH vuông góc HB hay AH vuông góc BC (1)

AB và AC là 2 tiếp tuyến của (O) => $\Delta$ABC cân tại A. Mà AO là phân giác ^BAC

=> AO vuông góc BC (2)

Từ (1) và (2) => A;H;O thẳng hàng => ^OHB=90⁰.

Xét tứ giác BOHK: ^OKB=^OHB=90⁰ => Tứ giác BOHK nội tiếp đường tròn đường kính OB

=> ^OKH = ^OBH. Lại có ^OBH=^OAB (Cùng phụ ^HBA) => ^OKH = ^OAB

Hay ^OKH = ^HAI. Mà ^OKH + ^KHI = 180⁰ nên ^HAI + ^KHI = 180⁰

=> Tứ giác AIKH nội tiếp đường tròn (đpcm).

b) Dễ thấy OI là trung trực của BD và OI cắt BD tại K => K là trung điểm của BD

$\Delta$ABC cân đỉnh A có đường phân giác AH => H là trung điểm BC

Từ đó suy ra HK là đường trung bình của $\Delta$BDC

=> HK//CD => ^HKD + ^CDK = 180⁰ (3). Đồng thời $\frac{HK}{CD}=\frac{1}{2}$

Tương tự KI là đường trg bình của $\Delta$BAD => KI//AD => ^DKI + ^ADK = 180⁰ (4) Và $\frac{IK}{AD}=\frac{1}{2}$

Cộng (3) với (4) => ^KHD + ^KDI + ^CDK + ^ ADK = 360⁰

<=> ^HKI = 360⁰ - (^CDK + ^ADK) => ^HKI = ^CDA.

Xét $\Delta$HKI và $\Delta$CDA: ^HKI=^CDA; $\frac{HK}{CD}=\frac{IK}{AD}=\frac{1}{2}$=> $\Delta$HKI ~ $\Delta$CDA (c.g.c)

=> ^HIK = ^CAD. Mặt khác: ^CAD = ^DBE (Cùng chắn cung DE) => ^HIK=^DBE.

Mà tứ giác AIKH nội tiếp đường tròn => ^HIK=^HAK = >^DBE=^HAK hay ^KBF=^FAK

=> Tứ giác BKFA nội tiếp đường tròn => Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABF đi qua điểm K (đpcm).

TL

Tô Lê Minh Thiện

24 tháng 1 2021

Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B, C là hai tiếp điểm). Gọi I là giao điểm của OA và BC; H là hình chiếu của điểm C trên đường kính BD của đường tròn (O).

a) Chứng minh: ABOC là tứ giác nội tiếp

b) Tính tích OI . OA theo R

c) Chứng minh tam giác BIH cân

d) Kẻ AD cắt CH tại K. Chứng minh IK // BH

0

DV

Đặng Văn Anh

13 tháng 1

Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn . Qua A kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn. Gọi H là giao điểm OA với BC , I là giao điểm OA với đường tròn (O). a, Chứng minh OH nhân OA =π^2 b, Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Giúp mình với nhé, mình cảm ơn ^^

2

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

13 tháng 1

a: Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA$\perp$BC tại H và H là trung điểm của BC

Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao

nên $OH\cdot OA=OB^2=R^2$

b: Ta có: $\widehat{ABI}+\widehat{OBI}=\widehat{OBA}=90^0$

$\widehat{HBI}+\widehat{OIB}=90^0$(ΔHBI vuông tại H)

mà $\widehat{OBI}=\widehat{OIB}$

nên $\widehat{ABI}=\widehat{HBI}=\widehat{CBI}$

=>BI là phân giác của góc ABC

Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AO là phân giác của góc BAC

Xét ΔBAC có

AH,BI là các đường phân giác

AH cắt BI tại I

Do đó: I là tâm đường tròn nội tiếp ΔBAC

Đúng(2)

NT

Nguyễn thị thúy Quỳnh

13 tháng 1

a, Để chứng minh $OH \times OA = \pi^2$, chúng ta có thể sử dụng định lí thứ ba của đường tròn và định lí Euclid về tiếp tuyến và tiếp tuyến ngoại tiếp.

Gọi $R$ là bán kính của đường tròn, $O$ là tâm của đường tròn, $A$ là điểm nằm ngoài đường tròn, $B$ và $C$ là các điểm tiếp tuyến từ $A$ đến đường tròn. $H$ là giao điểm giữa $OA$ và $BC$.

Theo định lí thứ ba của đường tròn, ta có $OH$ là đoạn trung bình của $OA$ trong tam giác $OAB$. Điều này có nghĩa là $OH$ là trung bình hòa của các phần bằng nhau $OA$ và $OB$.

$OA = OB = R$ (bán kính của đường tròn).

$OH = \frac{OA + OB}{2} = \frac{2R}{2} = R$.

Vậy, $OH = R$.

Để chứng minh $OH \times OA = \pi^2$, ta có $OH \times OA = R \times R = R^2$.

Nhưng theo định nghĩa, $R$ là bán kính của đường tròn, nên $R^2$ chính là $\pi^2$ (bán kính mũ hai). Vì vậy, $OH \times OA = \pi^2$.

b, Để chứng minh $I$ là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$, chúng ta có thể sử dụng các định lí về tiếp tuyến và tiếp tuyến ngoại tiếp.

Gọi $I$ là giao điểm của $OA$ với đường tròn. Khi đó, theo định lí về tiếp tuyến ngoại tiếp, $OA$ vuông góc với $AB$ tại $B$ và $OA$ vuông góc với $AC$ tại $C$.

Vì OA là đường trung trực của BC (do H là giao điểm giữa OA và BC, nên OH cũng là đường trung trực của BC.)

Nếu I là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC, thì OI cũng là đường trung trực của BC

Do đó, OHvà OI là cùng một đường trung trực của BC, nên OH = OI.

Vậy, I là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

TY

TROLL YT

11 tháng 3 2021

Cho đường tròn (O; R)và một điểm A nằm bên ngoài đường tròn với OA = 3R. qua A vẽ hai tíêp tuyến AB, AC đế đường tròn ( O) ( B, C là hai tiếp điểm)

a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp

b) Kẻ đường kính CD của (O). chứng minh BD // OA

c) Kẻ dây BN của (O) song song với AC,AN cắt (O) ở M. chứng minh MC²= MA. MB

1

E

Etermintrude💫

11 tháng 3 2021

undefined

Từ điển A ngoài đường tròn ( O ;R), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn( O ;R)( B, C là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC a/ Chứng minh: OA vuông góc với BC tại H và OH.OA=R2 b/ kẻ đường kính BD của đường tròn (O), E là giao điểm của AD và đường tròn (O), chứng minh Tam giác BED vuông và AE.AD = AH.AO. c/ Tiếp tuyến tại E và D của (O) cắt nhau tại K. Chứng minh OK vuông góc với ED và ba điểm...

TN

Tuấn Nguyễn

21 tháng 12 2023

Bài IV (3,0 điểm) Cho đường tròn (O,R) và một điểm S nằm ngoài đường tròn. Từ điểm S vẽ hai tiếp tuyến SA, SB với (O) (A, B là các tiếp điểm). 1) Chứng minh tứ giác OASB là tứ giác nội tiếp. 2) Kẻ đường kính BD của đường tròn (O). Đường thẳng SD cắt đường tròn (O) tại điểm C (C khác D ). Chứng minh rằng SA.SB = SC.SD. 3) Gọi I là giao điểm của hai đoạn thẳng SO và AB . Tia CI cắt...

1

BN

bao nguyen

21 tháng 12 2023

Đường tròn

a ) Ta có : AB , AC là tiếp tuyến của (O)

$\Rightarrow A B ⊥ O B, A C ⊥ O C$

$\Rightarrow \hat{A B O} + \hat{A C O} = 90^{0} + 90^{0} = 180^{0} \Rightarrow A B O C$ nội tiếp

b ) Vì AB là tiếp tuyến của (O)

$\Rightarrow \hat{A B E} = \hat{A D B} \Rightarrow Δ A B E \sim Δ A D B (g . g)$

$\Rightarrow \frac{A B}{A D} = \frac{A E}{A B} \Rightarrow A B^{2} = A E . A D$

c ) Ta có : $AC$ là tiếp tuyến của (O) $\Rightarrow \hat{A C E} = \hat{E B C}$

Mà BD // AC $\Rightarrow \hat{E C B} = \hat{E D B} = \hat{A D B} = \hat{E A C}$

$\Rightarrow Δ E A C \sim Δ E C B (g . g) \Rightarrow \hat{C E A} = \hat{C E B}$

d ) Gọi $C O \cap B D = F$

Vì BD // AC , $O C ⊥ A C \Rightarrow C F ⊥ B D$

$\Rightarrow d (A C, B D) = C F$ Vì AO = 3R , $O B = R \Rightarrow A B = \sqrt{O A^{2} - O B^{2}} = 2 \sqrt{2} R$ $\Rightarrow \frac{1}{2} B C . A O = A B . O C (= 2 S_{A B O C})$ $\Rightarrow B C = \frac{4 \sqrt{2} R}{3}$ Ta có : $\hat{B A O} = \hat{B C O} \Rightarrow Δ A B O \sim Δ C F B (g . g)$ $\Rightarrow \frac{A B}{C F} = \frac{A O}{C B} = \frac{B O}{B F}$ $\Rightarrow \frac{2 \sqrt{2} R}{C F} = \frac{3 R}{\frac{4 \sqrt{2} R}{3}}$ $\Rightarrow C F = \frac{16 R}{9}$

Đúng(0)

VA

Văn A Lê

14 tháng 3 2023

Bài IV (3,0 điểm) Cho đường tròn (O,R) và một điểm S nằm ngoài đường tròn. Từ điểm S vẽ hai tiếp tuyến SA, SB với (O) (A, B là các tiếp điểm). 1) Chứng minh tứ giác OASB là tứ giác nội tiếp. 2) Kẻ đường kính BD của đường tròn (O). Đường thẳng SD cắt đường tròn (O) tại điểm C (C khác D ). Chứng minh rằng SA.SB = SC.SD. 3) Gọi I là giao điểm của hai đoạn thẳng SO và AB . Tia CI cắt...

1

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

16 tháng 3 2023

1: góc OAS+góc OBS=90+90=180 độ

=>OASB nội tiép

2: Xét ΔSAC và ΔSDA có

góc SAC=góc SDA

góc ASC chung

=>ΔSAC đồng dạng với ΔSDA

=>SA/SD=SC/SA

=>SA^2=SD*SC=SA*SB

3: Xét (O) có

SA,SB là tiêp tuyến

=>SA=SB

mà OA=OB

nên OS là trung trực của AB

=>OS vuông góc AB tại I

=>SI*SO=SA^2=SC*SD

=>SI/SD=SC/SO

=>ΔSIC đồng dạng với ΔSDO

Đúng(0)

VA

Văn A Lê

14 tháng 3 2023

Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) ( B và C là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.a) Chứng minh: OA vuông góc với BC tại H.b) Từ B vẽ đường kính BD của (O), đường thẳng AD cắt (O) tại E (khác D). Chứng minh: AE.AD = AH.AO.c) Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với AD tại I và cắt BC tại K. Chứng minh: KD là tiếp tuyến của...

1

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

14 tháng 3 2023

loading...

Đúng(2)

NT

Nguyễn Thu Phương

4 tháng 12 2023

1

NL

Nguyễn Lê Phước Thịnh

4 tháng 12 2023

a: Xét (O) có

AB,AC là tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA$\perp$BC tại trung điểm của BC

=>OA$\perp$BC tại H và H là trung điểm của BC

b: Xét (O) có

ΔBED nội tiếp

BD là đường kính

Do đó: ΔBED vuông tại E

=>BE$\perp$ED tại E

=>BE$\perp$AD tại E

Xét ΔDBA vuông tại B có BE là đường cao

nên $AE\cdot AD=AB^2\left(3\right)$

Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao

nên $AH\cdot AO=AB^2\left(4\right)$ và $OH\cdot OA=OB^2$

Từ (3) và (4) suy ra $AE\cdot AD=AH\cdot AO$

c: Xét ΔOKH vuông tại K và ΔOIA vuông tại I có

$\widehat{KOH}$ chung

Do đó: ΔOKH đồng dạng với ΔOAI

=>$\dfrac{OK}{OA}=\dfrac{OH}{OI}$

=>$OK\cdot OI=OH\cdot OA$

mà $OH\cdot OA=OB^2$

nên $OK\cdot OI=OB^2=R^2=OD^2$

=>$\dfrac{OK}{OD}=\dfrac{OD}{OI}$

Xét ΔOKD và ΔODI có

$\dfrac{OK}{OD}=\dfrac{OD}{OI}$

$\widehat{KOD}$ chung

Do đó: ΔOKD đồng dạng với ΔODI

=>$\widehat{ODK}=\widehat{OID}=90^0$

=>KD là tiếp tuyến của (O)