Cho 1/a +1/b + 1/c=2
a+b+c=abc
c/m: 1/a^2 +1/b^2 +1/c^2 =2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 10 2020
Do \(\left\{{}\begin{matrix}0\le a;b;c\\a+b+c=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow0\le a;b;c\le1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a\left(a-1\right)\le0\\b\left(b-1\right)\le0\\c\left(c-1\right)\le0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2\le a\\b^2\le b\\c^2\le c\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow P=\sqrt{a^2+a^2+a+1}+\sqrt{b^2+b^2+b+1}+\sqrt{c^2+c^2+c+1}\)
\(P\le\sqrt{a+a^2+a+1}+\sqrt{b+b^2+b+1}+\sqrt{c+c^2+c+1}\)
\(P\le a+1+b+1+c+1=4\)
\(P_{max}=4\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right)\) và hoán vị
6 tháng 3 2018
1a)\(a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge\dfrac{1}{4}\)(1)
Lại có:\(\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4}=\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow\left(1\right)\) đúng\(\Rightarrowđpcm\)
1b)\(a^2+b^2+c^2\ge\dfrac{1}{3}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2}{2}+\dfrac{b^2}{2}+\dfrac{c^2}{2}\ge\dfrac{1}{6}\)(2)
Lại có:\(\dfrac{a^2}{2}+\dfrac{b^2}{2}+\dfrac{c^2}{2}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{6}=\dfrac{1}{6}\)
\(\Rightarrow\left(2\right)\) đúng\(\Rightarrowđpcm\)
6 tháng 3 2018
2b)Ta có:\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)(bđt phụ)
\(\Leftrightarrow ab+bc+ca\le\dfrac{4^2}{3}=\dfrac{16}{3}\)
\(\Rightarrow MAXA=\dfrac{16}{3}\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{4}{3}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
11 tháng 7 2017
Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM:
\((2a+b+c)^2=\frac{8}{9}(a+b+c)^2+\frac{(a+b+c)^2}{9}+a^2+2a(a+b+c)\)
\(\geq \frac{8}{9}(a+b+c)^2+\frac{2}{3}a(a+b+c)+2a(a+b+c)=\frac{8(a+b+c)^2}{9}+\frac{8a(a+b+c)}{3}\)
Do đó \(\frac{1}{(2a+b+c)^2}\leq \frac{9}{8(a+b+c)(4a+b+c)}\). Thực hiện tương tự với các phân thức còn lại:
\(\Rightarrow P\leq \frac{9}{8}.\frac{1}{a+b+c} \left(\frac{1}{4a+b+c}+\frac{1}{4b+a+c}+\frac{1}{4c+a+b} \right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{4a+b+c}\leq \frac{1}{36}\left (\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{36}\left(\frac{4}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\) cùng với những phân thức tương tự
\(\frac{1}{a+b+c}\leq \frac{1}{9}\left (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Suy ra \(P\leq \frac{1}{8}\left (\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right).\frac{1}{36}\left (\frac{6}{a}+\frac{6}{b}+\frac{6}{c}\right)\)
Mặt khác theo hệ quả của BĐT AM-GM:
\(3=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\geq \frac{1}{3}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^2\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq 3\)
Suy ra \(P\leq \frac{3}{16}\). Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)
TV
2
30 tháng 4 2016
+) chứng minh 1/ab+b+1 + 1/bc+c+1 + 1/ac+a+1=1
<=> abc/ab+b+abc + abc/bc+c+abc + 1/ac+a+1
<=> ac/ac+a+1 + ab/b+1+ab + 1/ac+a+1
<=> ac+a+1/ac+a+1
<=> 1
+) xét: a^2+2b^2+3=(a^2+b^2)+(b^2+1)+2 >= 2ab+2b+2<=1/2(ab+b+1) (1)
chứng minh tương tự:1/ b^2+2c^2+3 <= 1/2(bc+c+1) (2)
1/ c^2+2a^2+3 <= 1/2(ac+a+1) (3)
cộng các vế của (1),(2),(3) ta duoc: 1/(a^2+2b^2+3) + 1/(b^2+2c^2+3) + 1/(c62+2a^2+3) <= 1/2.(1/ab+b+1 + 1/bc+c+1 + 1/ac+a+1)=1/2 (đpcm)
LC
30 tháng 4 2016
mình làm rồi, bạn vào đây tham khảo nha: http://olm.vn/hoi-dap/question/559729.html
NT
1
KT
15 tháng 12 2018
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)
<=> \(\frac{ab+bc+ca}{abc}=0\)
<=> \(ab+bc+ca=0\)
=> \(ab+bc=-ca\)
<=> \(\left(ab+bc\right)^3=-ca^3\)
Ta co: \(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3=a^3b^3+b^3c^3-\left(ab+bc\right)^3=a^3b^3+b^3c^3-ab^3-bc^3-3ab.bc\left(ab+bc\right)\)
\(=-3ab.bc\left(ab+bc\right)=-3ab.bc.\left(-ca\right)=3a^2b^2c^2\)
\(M=\frac{b^2c^2}{a}+\frac{c^2a^2}{b}+\frac{a^2b^2}{c}=\frac{b^3c^3+c^3a^3+a^3b^3}{abc}=\frac{3a^2b^2c^2}{abc}=3abc\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
19 tháng 7 2019
Mình đã sửa đề cho bạn
Bạn có thể tham khảo lời giải tại link sau:
Câu hỏi của ank viet - Toán lớp 9 | Học trực tuyến
29 tháng 5 2016
Đề bài : Cho \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\left(a,b,c\ne0\right)\)và \(M=\frac{b^2c^2}{a}+\frac{c^2a^2}{b}+\frac{a^2b^2}{c}\)
Chứng minh M=3abc.
Trước tiên, ta chứng minh bài toán phụ : Cho x+y+z=0 . Chứng minh \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)
Giải bài toán phụ như sau : Ta có : \(x+y+z=0\Rightarrow z=-\left(x+y\right)\Rightarrow z^3=-\left[x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)\right]\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3=-3xy\left(x+y\right)=-3xy\left(-z\right)\)
\(\Rightarrow x^3+y^3+z^3=3xyz\)
Áp dụng vào bài đã cho, ta suy ra : \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}=\frac{3}{abc}\)
Do đó : \(M=\frac{b^2c^2}{a}+\frac{c^2a^2}{b}+\frac{a^2b^2}{c}=\frac{a^2b^2c^2}{a^3}+\frac{a^2b^2c^2}{b^3}+\frac{a^2b^2c^2}{c^3}=a^2b^2c^2\left(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\right)=a^2b^2c^2.\frac{3}{abc}=3abc\)Vậy \(M=3abc\)(đpcm)