cho a>0,b>0
cmr a/b+b/a≥2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
H
5 tháng 4 2021
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta có:
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}=9\)
Dấu = xảy ra khi a=b=c=1/3
5 tháng 4 2021
Áp dụng hệ quả bất đẳng thức Cô - si , ta có :
\(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\left(a+b+c\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\cdot1\ge9\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge9\)
D
2
21 tháng 5 2022
Đặt a/b=c/d=k
=>a=bk; c=dk
\(\dfrac{2a+b}{3a-5b}=\dfrac{2\cdot bk+b}{3\cdot bk-5b}=\dfrac{2k+1}{3k-5}\)
\(\dfrac{2c+d}{3c-5d}=\dfrac{2dk+d}{3dk-5d}=\dfrac{2k+1}{3k-5}\)
Do đó: \(\dfrac{2a+b}{3a-5b}=\dfrac{2c+d}{3c-5d}\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
6 tháng 1 2023
Lời giải:
$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0$
$\Leftrightarrow 2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0$
$\Leftrightarrow (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ac+a^2)=0$
$\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$
Vì $(a-b)^2; (b-c)^2; (c-a)^2\geq 0$ với mọi $a,b,c$ nên để tổng của chúng bằng $0$ thì:
$a-b=b-c=c-a=0$
$\Rightarrow a=b=c$
$\Rightarrow \frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=1$
Khi đó:
$(\frac{a}{b}+1)(\frac{b}{c}+1)(\frac{c}{a}+1)=(1+1)(1+1)(1+1)=8$
Ta có đpcm.
4 tháng 8 2021
đặt biể thức cần chứng minh là P
\(\dfrac{a}{\left(b+c\right)^2}=\dfrac{a^2}{a\left(b+c\right)^2}=\dfrac{\dfrac{a^2}{\left(b+c\right)^2}}{\dfrac{a\left(b+c\right)^2}{\left(b+c\right)^2}}=\dfrac{\left(\dfrac{a}{b+c}\right)^2}{a}\)
\(t\)ương tự
\(=>P\ge\dfrac{\left(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\right)^2}{a+b+c}\)
\(=>P\ge\dfrac{[\dfrac{a^2}{ab+ac}+\dfrac{b^2}{bc+ba}+\dfrac{c^2}{ca+cb}]^2}{a+b+c}\)
\(=>P\ge\dfrac{[\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}]^2}{a+b+c}=\dfrac{[\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}]^2}{a+b+c}\)
\(=>P\ge\dfrac{\dfrac{9}{4}}{a+b+c}=\dfrac{9}{4\left(a+b+c\right)}\) dấu"=" xảy ra<=>a=b=c
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 8 2021
\(\dfrac{a^3}{b}+ab+\dfrac{b^3}{c}+bc+\dfrac{c^3}{a}+ca\ge2\sqrt{\dfrac{a^4b}{b}}+2\sqrt{\dfrac{b^4c}{c}}+2\sqrt{\dfrac{c^4a}{a}}=2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{a^3}{b}+\dfrac{b^3}{c}+\dfrac{c^3}{a}\ge ab+bc+ca\)
7 tháng 8 2021
áp dụng AM GM ta có a^3/b+ab>=2a^2
chứng minh tương tự => a^3/b+b^3/c+c^3/a>=2(a^2+b^2+c^2)-(ab+bc+ca)
mà ta có a^2+b^2+c^2>=(ab+bc+ca)
=>a^3/b+b^3/c+c^3/a>= ab+bc+ca
"=" xảy ra khi a=b=c
18 tháng 2 2023
Đặt a/b = b/c=k
=> a=bk;b=ck (1)
Từ (1) => a/a-b= bk/bk-b=bk/b(k-1)=k/k-1 (2)
Từ (1) => c/c-d= dk/dk-d=dk/d(k-1) = k/k-1 (3)
Từ (2) và (3)=> a/a-b = c/c-d
Cho mình 5 sao nha
26 tháng 1 2022
nhân cả vế với abc ta có điều cần chứng minh
\(\dfrac{\left(bc\right)^2}{a\left(b+c\right)}+\dfrac{\left(ac\right)^2}{b\left(a+c\right)}+\dfrac{\left(ab\right)^2}{c\left(a+b\right)}\ge\dfrac{ab+bc+ac}{2}\)
VT\(\ge\)\(\dfrac{\left(bc+ac+ab\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)}=\dfrac{bc+ac+ab}{2}\)
=>(đpcm)
mấu chốt nằm ở đoạn chứng minh\(\dfrac{\left(bc\right)^2}{a\left(b+c\right)}+\dfrac{\left(ac\right)^2}{b\left(a+c\right)}+\dfrac{\left(ab\right)^2}{c\left(a+b\right)}\)
chỉ cần chứng minh được \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{9}{x+y+z}\)sau đó áp dụng để chứng minh cái kia thôi cái này bạn thử tự chứng minh nhé
Ta có \(\left(a-b\right)^2\ge0\)
=>\(a^2-2ab+b^2\ge0\)
=>\(a^2+b^2\ge2ab\)
=>\(\dfrac{a^2+b^2}{ab}\ge2\)
=>\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\)