cho a,b,c,p là động dài 3 cạnh và nửa chu vi của một tam giác CMR
1/p-a+1/p-b+1/p-c>/ 2(1/a+1/p+1/c)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
14 tháng 4 2018
Do p là nửa chu vi tam giác nên \(2p=a+b+c\)
Ta có bổ đề sau: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}\ge\frac{4}{x+y}\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Áp dụng vào bài toán:
\(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}\ge\frac{4}{p-a+p-b}=\frac{4}{2p-a-b}=\frac{4}{c}\)
Tương tự: \(\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge\frac{4}{a},\)\(\frac{1}{p-c}+\frac{1}{p-a}\ge\frac{4}{b}\)
\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\right)\ge\frac{4}{a}+\frac{4}{b}+\frac{4}{c}=4\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)(đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c.
ML
20 tháng 11 2015
\(\Leftrightarrow2\left(p-a\right).2\left(p-b\right).2\left(p-c\right)\le abc\)
\(\Leftrightarrow\left(2p-2a\right)\left(2p-2b\right)\left(2p-2c\right)\le abc\)
\(\Leftrightarrow\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)\le abc\)
Đặt \(a+b-c=x;\text{ }b+c-a=y;\text{ }c+a-b=z\)
Thì \(a=\frac{x+z}{2};\text{ }b=\frac{y+x}{2};\text{ }c=\frac{z+y}{2}\)
Nên cần chứng minh:
\(xyz\le\frac{1}{8}\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)
Điều này là hiển nhiên khi ta áp dụng bđt Côsi cho VP.
Vậy ta có đpcm.
NT
2
4 tháng 4 2018
theo bài ra ,ta có a+b+c=2 ; a>0 ,b>0 ,c>0
vì a+b>c (theo bất đẳng thức tam giác ) => c+c<a+b+c=2
=>2c<2=>c<1
tương tự : a+c>b =>b+b<a+b+c=2
=>2b<2 =>b<1
b+c>a => a+a<a+b+c=2
=>2a<2 =>a<1
vậy a,b,c đều nhỏ hơn 1
Dễ dàng chứng minh bất đẳng thức phụ : 1a+1b≥4a+b∀a;b>01a+1b≥4a+b∀a;b>0
Và p−a;p−b;p−c>0p−a;p−b;p−c>0 theo bất đẳng thức trong tam giác.
Áp dụng bất đẳng thức phụ vừa chứng minh, ta có:
1p−a+1p−b≥42p−a−b=4c1p−a+1p−b≥42p−a−b=4c (1)(1)
1p−b+1p−c≥42p−b−c=4a1p−b+1p−c≥42p−b−c=4a (2)(2)
1p−c+1p−a≥42p−c−a=4b1p−c+1p−a≥42p−c−a=4b (3)(3)
Cộng 1;2;31;2;3 vế theo vế, ta được:
2(1p−a+1p−c+1p−c)≥4(1a+1b+1c)2(1p−a+1p−c+1p−c)≥4(1a+1b+1c)
. Áp dụng BĐT Schwarz cho 3 số trên là ra thoy =))