Cho hình vuông ABCD, trên BC lấy E. Dựng Ax vuông góc với AE, Ax cắt CD kéo dài tại F. Kẻ trung tuyến AI của tam giác AEF, AI cắt CD tại K, qua E dựng đường thẳng song song với AB cắt AI tại G.Gọi giao điểm của È và AD là J . Chứng minh GJ vuông góc với JK
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bài làm
Ta có Qua E kẻ đường thẳng với AB cắt AD tại H.
a)Ta có DAEˆ+FADˆ=90o
Xét trong tam giác vuông tại H(do EH//AB=>HE vuông góc với AD)
Có DAEˆ=AEHˆ=90o
=>AEHˆ=FADˆ.
Xét tam giác HAE và tam giác DFA có:
HE=AD(do HE=AB(c/m dễ dàng))
ADFˆ=EHAˆ=90o
AEHˆ=FADˆ(c/m trên)
=>Tam giác HAE=Tam giác DFA(cạnh huyền-góc nhọn)
=>AE=FA.
Ta có AE=FA=>Tam giác AFE vuông cân tại A
=>AI vừa là trung tuyến cũng vừa là đường vuông góc! xuất phát từ đỉnh.
Từ đây =>FE vuông góc với GK kết hợp với IF=IE,AE//DC(do AB//DC)
Dễ dàng chứng mình được AEKF là hình thoi.
b)Xem lại đề nhé AEF không thể đồng dạng với CAF do CFAˆ=AFEˆ+EFCˆ.
Ta có AC là đường chéo nên cũng là Phân giác của góc đó luôn.
Nên ta có DAKˆ+KACˆ=45o
Ta cũng có AK là phân giác trong tam giác vuông cân tại đỉnh A.
=>KACˆ+CAEˆ=45o
=>CAEˆ=DAKˆ.
Ta xét trong tam giác vuông ADK tại D.
Có AKDˆ+DAKˆ=90o
MÀ FACˆ+EACˆ=90o
hay FACˆ+DAKˆ=90o
=>FACˆ=AKDˆ
Xét hai tam giác AFK và tam giác CFA có:
AFCˆ chung
FACˆ=AKDˆ(c/m trên)
=>Tam giác AFK đồng dạng với tam giác CFA
=>AFFK=CFAF
=>AF2=CF.FK
tốp scorer ơi,mình không hiểu phần kẻ thêm ở đàucủa bạn, bạn có hình ko
a) Xét \(\Delta\)ABE và \(\Delta\)ADF: AB=AD; ^ABE=^ADF=900; ^BAE=^DAF (Cùng phụ với ^DAE)
=> \(\Delta\)ABE=\(\Delta\)ADF (g.c.g) => AE=AF (2 cạnh tương ứng)
=> \(\Delta\)AEF vuông cân tại A (Do ^EAF=900)
=> Trung tuyến AI của \(\Delta\)AEF đồng thòi là đường trung trực của EF
Ta thấy 2 điểm K và G nằm trên AI nên GE=GF; KE=KF (1)
Lại có: GE//AB hay GE//CD => ^GEF=^KFE. Mà ^KFE=^KEF (Do tam giác EKF cân tại K)
=> ^GEF=^KEF => EF hay EI là đường phân giác ^GEK
Xét \(\Delta\)EGK: EI\(\perp\)GK; EI là phân giác ^GEK => \(\Delta\)EGK cân tại E => EG=EK (2)
Từ (1) và (2) => GE=GF=KE=KF => Tứ giác EKFG là hình thoi (đpcm).
b) Ta có: EF\(\perp\)AK tại I (Dễ chứng minh) => \(\Delta\)FIK ~ \(\Delta\)FCE (g.g)
=> \(\frac{FI}{FC}=\frac{FK}{FE}\)=> FK.FC = FI.FE
Vì tam giác AEF vuông tân tại A và có đường trung tuyến AI => AI=FI
=> FK.FC=AI.EF (đpcm).
c) CECK= CE+CK+EK = CE+CK+FK (Do EK=FK) = CK+CE+DK+DF
Ta có: \(\Delta\)ABE = \(\Delta\)ADF (cmt) => BE=DF => CECK=CK+CE+DK+BE=CD+BC
Mà CD và BC không đổi => CECK không đổi khi E thay đổi trên BC (đpcm).
Ta có
góc FAD+DAE=90•
DAE+EAB=90•
-> FAD=EAB
xet tam giác AEB và tam giác ADF có
AB=AD( ABCD là hình vuông)
ABE=ADF=90•
FAD=EAB
suy ra tam giac ABE=tam giác ADF(g.c.g)
-> AF=AE
a, góc FAD + góc DAE = 90
góc BAE + góc DAE = 90
=> góc FAD = góc BAE
xét tam giác ADF và tam giác ABE có : góc ADF = góc ABE = 90
AD = AB do ABCD là hình vuông (gt)
=> tam giác ADF = tam giác ABE (cgv-gnk)
=> AF = AE (đn)
=> tam giác AFE cân tại A (đn)
góc AFE = 90 (gT)
=> tam giác AFE vuông cân (dh)
b, tam giác AFE cân tại A (câu a)
AI Là trung tuyến của tam giác AFE (gt)
=> AI _|_ FE (đl) (1)
EG // AB (gt)
AB // DC do ABCD là hình vuông (gT)
=> EG // FK (2)
=> góc GEI = góc IFK (slt)
xét tam giác GIE và tam giác KIF có : góc GIE = góc KIF (đối đỉnh)
FI = IE do I là trđ của FE (gt)
=> tam giác GIE = tam giác KIF (g-c-g)
=> GE = FK (3)
(2)(3) => GEFK là hình bình hành và (1)
=> GEFK là hình thoi (dh)